Декартовий добуток

Лекція 2. Відношення

В цій лекції буде введено поняття відношення, яке широко використовується у дискретній математиці.

Означення 2.1. Нехай A і В – дві множини. Розглянемо множину C = {(a,b) | aÎA, bÎB}. Ця множина називається декартовим (прямим) добутком множин А і В і позначається А´В. Якщо множини А і В скінченні і складаються відповідно із m і n елементів, то очевидно, що C складається із mn елементів.

Нехай А = {1,2} і B = {2,3,4}. Тоді А´В = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)}.

Елементами декартового добутку є упорядковані пари, де перший елемент пари належить першій множині, а другий – другій. Порядок входження пар може бути будь-яким, але розташування елементів у кожній парі визначається порядком множин, що перемножуються. Тому А´В¹В´А, тобто декартовий добуток властивості комутативності не має.

Самостійний інтерес викликає випадок, коли множини А і В рівні між собою. Тоді елементами упорядкованої пари множини А´В будуть об’єкти, які складаються із двох не обов’язково різних елементів множини А. Також важливим залишається порядок елементів у парі. Для наведеної вище множини А, упорядковані пари (1,2) та (2,1) слід вважати різними.

Означення 2.2. Множина С = {(a₁,a₂) | a₁,a₂ÎA} всіх впорядкованих пар елементів із множини А називається декартовим квадратом множини А і позначається А².

Поняття упорядкованої пари можна розширити на упорядковані трійки елементів (а₁,а₂,а₃), упорядковані четвірки (а₁,а₂,а₃,а₄) і т.д. Взагалі, упорядкована n-ка елементів із множини А – це n не обов’язково різних між собою елементів із А, заданих в певній послідовності.

Наведене вище означення декартового добутку двох множин і декартового квадрату множини можна звичайним способом узагальнити і на випадок довільної скінченої сукупності множин.

Декартовим добутком А₁´А₂´...´А_n множин А₁, А₂,...,А_n називається сукупність послідовностей (тобто сукупність упорядкованих n-ок елементів) виду (а₁,а₂,...,а_n), де а_iÎА_i, i=1,..,n.

Елементи декартового добутку називають іще кортежами або вектором довжиною n.

Якщо А₁=А₂=...=А_n=А, то декартовий добуток А₁´А₂´...´А_n називається декартовим добутком n-ї степені множини A (Aⁿ).

Властивості асоціативності для декартового добутку не виконуються, але виконується властивість дистрибутивності відносно об’єднання, перерізу і відносного доповнення (різниці).

(А₁ÈА₂) ´ В = (А₁´В) È (А₂´В)

(А₁ÇА₂) ´ В = (А₁´В) Ç (А₂´В)

(А₁\А₂) ´ В = (А₁´В) \ (А₂´В)

Операція декартового добутку відрізняється від операції, введених раніше, тим, що елементи добутку множин суттєво відрізняються від елементів співмножників і є об’єктами іншої природи. Наприклад, якщо R – множина дійсних чисел, то декартовий добуток R´R – множина всіх точок площини.

Дата добавления: 2014-01-07