Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тобто похідна складеної функції дорівнює добутку похідної заданої функції по проміжному аргументу на похідну цього аргументу по незалежній змінній

Читайте также:
  1. SM та функції спільного обладнання
  2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  3. Алгебраїчне рівняння мас, виражених в функції головних розмірів
  4. Алгебраїчне рівняння мас, виражених у функції водотоннажності
  5. Але всі ці заходи здійснювалися під су­ворим контролем центру, до якого згодом знову повернулися його командні функції.
  6. Аргументи функцій. У кожної функції може бути список аргументів. За допомогою цих аргументів у функцію передається різна інформація. Кожен аргумент є змінною або константою.
  7. Банківська система України, її структурна характеристика та функції
  8. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн
  9. Білки в харчуванні людини. Функції білків.
  10. Будова і основні функції нейронів і нервів. Загальні поняття про подразливість, збудливість, провідність, біоелектричні явища
  11. Будова та функції моносахаридів.
  12. Валютні ринки та їх функції

Таблиця похідних.

(u = u(x), v=v(x), – диференційовні функції від x)

 

1. ;

2.;

3. .

4..

5. .

6. .

7..

 

8. .

9. .

 

10. .

 

11. .

12. .

13..

14..

 

Приклад. Знайти похідні функцій:

1) ; 2) ; 3) ;

4) y = (1 + sin3 5x)2; 5) ; 6) .

Розв’язання. Використовуючи таблицю похідних, дістанемо:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

Похідна степенево-показникової функції(формула Лейбніца-Бернуллі).

Степенево-показниковою функцією називають функцію, у якої і основа, і показник є змінні, тобто функцію y(x) = u(x)v(x), (u(x) > 0).

Для виведення формули її похідної прологарифмуємо обидві частини рівності y = uv. Маємо: ln |y| = vln u, (u > 0).

Тоді

; ;

; ;

.

Отже, маємо формулу

,

за якою похідна степенево-показникової функції дорівнює сумі по­хід­них: степеневої функції (якщо v(x) вважати сталою) та показникової функції (u(x) вважається сталою).

Об’єднуючи встановлені формули та правила диференціюван­ня, дістанемо таблицю похідних, за допомогою якої і знаходять похідні елементарних функцій.

Диференціювання неявних і параметрично заданих функцій. Рівняння дотичної і до кривої

1. Диференціювання неявно заданих функцій

Нехай функція y = y(x) задана неявно рівнянням F(x, y) = 0. Для знаходження похідної цієї функції потрібно про­диференціювати обидві частини заданого рівняння по x, вважаючи y функцією від x, а потім з одержаної рівності виразити .

Приклад. Знайти , якщо y(x) визначається рівнянням:

1) x2 + y2 = R2; 2) y = cos (x + y).

Розв’язання. 1) Знайдемо похідну по аргументу x від обох час­тин заданого рівняння. Дістанемо

; 2x + 2y·= 0; x + y·= 0

і виразимо з останньої рівності:

.

2) Аналогічно маємо:

; ;

; ;

; .

З наведених прикладів бачимо, що похідна неявної функції ви­ражається через незалежну змінну і саму функцію. Тому для обчис­лення значення похідної неявної функції при деякому значенні аргу­менту x = x0 потрібно знати і значення самої функції в точці x0.

2. Диференціювання параметрично заданих функцій

Нехай функція y = y(x) задана параметрично рівняннями

x = x(t), y = y(t) (T0 £ t £ T1), (1)

де x(t), y(t) – диференційовні функції від t. Потрібно знайти похідну функції y = y(x), тобто .

Якщо функція x = x(t) на відрізку [T0, T1] має диференційовну обернену функцію t = j(x), тоді, враховуючи (1), будемо мати

y = y(t), t = j(x),

тобто y є складеною функцією аргументу x. За правилом диференцію­вання складеної функції дістаємо

,

де , тобто

. (2)

Виведена формула дозволяє знаходити похідну функції, за­даної параметрично, не знаходячи безпосередньої залежності y від x.



Приклад. Знайти , якщо

x = R(t – sin t), y = R(1 – cos t).

Розв’язання. Нагадаємо, що це-рівняння циклоїди. Зна­ходимо та : = R(1 – cos t), = Rsin t. Тепер

.

3. Рівняння дотичної і нормалі до кривої

Нехай рівняння y = f (x) є рівняння деякої кривої, яка в точці M0(x0, f (x0)) має дотичну, тобто функція y = f (x), диференційовна при
x = x0. Проведемо через точку M0(x0, f (x0)) кривої y = f (x) дотичну M0T.

Означення. Нормаллю(рис.1) до кривої y = f (x) називається пряма, яка проходить через точку дотику M0(x0, f (x0)) перпендикуляр­но до дотичної в цій точці (пряма M0R).

Рівняння дотичної шукаємо у вигляді:

yy0 = k(xx0),

де k = tg a – кутовий коефі­цієнт прямої. Із геометричного змісту похідної відомо, що
tg a = f ¢(x0). Отже, рівняння до­тичної до кривої y = f (x), прове­де­ної в точці M0(x0, f (x0)), має вигляд

yy0 = f ¢(x0)(xx0), (3)

де y0 = f (x0).

Як відомо, кутові коефіцієнти взаємно перпендикулярних пря­мих зв’язані рівністю k1·k2 = – 1. Тому кутовий коефіцієнт нормалі до кривої, проведеної в точці M0(x0, f (x0)), дорівнює і рів­няння нормалі має вигляд:

. (4)

Означення. Кутом a між двома криви­ми, що перетинаються в точці M0 (x0, y0), нази­вається кут між дотичними до цих кривих у точці їх перетину. На рис. 2 це кут TM0T1 = q.

Цей кут можна знайти за формулою:

.

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої y = x3

в точці M0(1, 1).

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд (3):

yy0 = f ¢(x0)(xx0),

де x0 = 1, y0 = 1. Маємо y¢ = (x3)¢ = 3x2.Тоді f ¢(x0) = f ¢(1) = 3. Отже, шу­кане рівняння дотичної:

y – 1 = 3(x – 1); 3xy – 2 = 0.

Рівняння нормалі має вигляд (4)

,

тобто , або x + 3y – 4 = 0.

Приклад. Довести, що рівняння дотичної до еліпса у точці дотику M0(x0, y0) має вигляд

. (8)

Розв’язання. Рівнянням функція у(х) задана неявно. Знайдемо як похідну неявно заданої функції. Дістанемо:

; ; .

Підставимо в координати точки M0(x0, y0) і складемо рівнян­ня дотичної за формулою (3)

.

Виконаємо очевидні перетворення:

.

Поділивши на a2b2, матимемо

.

Права частина останньої рівності дорівнює 1 тому, що точка M0(x0, y0) лежить на еліпсі (її координати задовольняють рівняння еліпса). Отже, формула (8) доведена.

Аналогічний вигляд мають рівняння дотичних до гіперболи та параболи у точці дотику M0(x0, y0). А саме:

гіпербола – дотична ;

парабола y2 = 2px – дотична yy0 = p(x + x0).

Приклад. Скласти рівняння дотичної та нормалі до лінії x = 2et, y = e-t при t0 = 0.

Розв’язання. Використаємо формули (6) та (7). Знахо­димо координати точки дотику: x0 = 2e0 = 2, y0 = e0 = 1, тобто М0 (2, 1) – точка дотику. Далі знаходимо похідні , і обчислюємо їх при t = 0: , . Тепер, у відповідності з (6), (7), дістанемо шукане рівняння дотичної

, або x + 2y – 4 = 0,

і рівняння нормалі

, або 2x – y – 3 =0

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Тобто похідна складеної функції дорівнює добутку похідної заданої функції по проміжному аргументу на похідну цього аргументу по незалежній змінній

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1389; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. SM та функції спільного обладнання
  2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  3. Алгебраїчне рівняння мас, виражених в функції головних розмірів
  4. Алгебраїчне рівняння мас, виражених у функції водотоннажності
  5. Але всі ці заходи здійснювалися під су­ворим контролем центру, до якого згодом знову повернулися його командні функції.
  6. Аргументи функцій. У кожної функції може бути список аргументів. За допомогою цих аргументів у функцію передається різна інформація. Кожен аргумент є змінною або константою.
  7. Банківська система України, її структурна характеристика та функції
  8. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн
  9. Білки в харчуванні людини. Функції білків.
  10. Будова і основні функції нейронів і нервів. Загальні поняття про подразливість, збудливість, провідність, біоелектричні явища
  11. Будова та функції моносахаридів.
  12. Валютні ринки та їх функції




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2018) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление ip: 54.162.118.107
Генерация страницы за: 0.009 сек.