Метод Адамса

Метод А.Н. Крилова послідовних наближень

Метод Рунге-Кута

Розглянемо випадки загального підходу за назвою метод Рунге-Кутта, у якому значення функції y_n+1 у точці x_n+1 обчислюють тільки за допомогою значення функції y_n у попередній функції x_n. Сутність методу полягає в тому, що для замкнутого відрізка [x_n, x_n + h] знаходяться точки /x₀,x₁,…x_m,h₀,…h_n-1,h_n/ і підбирають сталі R₀, R₁,…,R_mтак, щоб для інтегральної кривої в=f(x), що проходить через точку / x₀, y₀ /, ордината aпроксимувалася виразом

K= y₀ + h[ R₀f(x₀, h₀) + R₁ f(x₁,h₁ ) + … + R_m f(x_m, h_m)].

При цьому x₀ = x₀; h₀ = y₀; x₁ = x₀ + a₀h; h₁ = y₀ + b₀k₁;

K₁= h f(x₀, h₀); x₂ = x₀ + a₁h; h₂ = y₀ + b₁k₁ + h₂ k₂;

K₂= h f(x₁, h₁).

Кількість членів апроксимації у квадратних дужках визначає порядок методу Рунге-Кута.

В окремому випадку, алгоритм четвертого порядку має вид:

K₁ = h * f(x_n,y_n); K₂ = h*f(x_n + h/2, y_n + K₁/2);

K₃ = h*f(x_n + h/2, y_n + K₂/2); K₄ = h*f(x_n + h, y_n + K₃);

y_n+1 = y_n + (K₁+ 2 K₂+ 2 K₃+ K₄)/6,

Коефіцієнти й обирані точки визначвють при розкладенні функції j і f у ряд Тейлора по ступенях кроку h і прирівнюванням однакових ступенів h у лівій і правій частинах рівності

j^’(x₀ + h) = f (x₀ + h, j(x₀ + h)).

Оцінка похибки методу дуже скрутна. Порядок точності методу – h⁴.

Розглянемо диференціальне рівняння типу

y^’ =f(x,y) (1)

З початковою умовою

y(x₀)= y_0.

Виведемо спочатку ряд допоміжних формул, поклавши

y_i = y(x₀+ih) і y_i =f(x_i, y_i) (i=0, 1, 2, …)

Академік Крилов запропонував формулу для обчислень початку таблиці розв’язання задачі, отриману з формули Ньютона для інтерполяції вперед аналогічно тому, як були отримані формули Адамса:

y_i+1 = y_i + q_i +½ dq_i -1/12 d²q_i-1 (2)

Далі дивитися в книзі 2, зі списку літератури.

Метод Адамса відноситься до так званих методів, що використовують «прогноз і корекцію». Він дозволяє одержати досить високий ступінь точності інтегрування без значного зменшення кроку інтегрування, не обчислюючи багаторазово кривої частини рівняння.

Основна ідея цього методу полягає в застосуванні при інтегруванні другої інтерполяційної формули Ньютона. Якщо для керування у'=f(х, у) у равностоячих точках осі / x_n+1 - x_n = h / знайти наближене значення розв’язання в =j(x), що проходить через точку /x₀, y₀/, то як підготовчий крок для деякого числа точок по будь-якому методу знаходять наближене значення y₁ = j(x₁); y₂ = j(x₂); y₃ = j(x₃) і складають інтерполяційний багаточлен Ньютона, що в обраних крапках x₁, x₂, x₃ приймає обчислені значення y₁, y₂, y₃. Інтегруючи цей багаточлен у межах одного кроку, одержуємо наближене значення y_n+1. Це перший етап екстраполяції, потім можна використовувати інтерполяцію для наступного кроку і т.д. Інтерполяційна формула Адамса має вид

dy_n = y_n+1 - y_n = q_n + ½ dq_n-1 + 5/12 d²q_n-2 + 3/8 d³q_n-3, (1.1)

де

q_n =h f(x_n, y_n); q_n-1 =h f(x_n-1, y_n-1);

q_n-2 =h f(x_n-2, y_n-2); q_n-3 =h f(x_n-3, y_n-3).

Схема розв’язання методом Адамса:

x₀(n-3) y₀(n-3) q₀(n-3) dq₀ (n-3) d²q₀ (n-3) d³q₀ (n-3);

x₁(n-2) y₁(n-2) q₁(n-2) dq₁ (n-2) d²q₁ (n-2);

x₂(n-1) y₂(n-1) q₂(n-1) dq₂ (n-1);

x₃(n) y₃(n) q₃(n).

Формула у' = f(x,y) застосовується для продовження цієї таблиці й екстраполяції значення:

y_n+1= y_n + dy_n.

Для уточнення отриманого значення по формулі у' = f(x,y) можна застосувати формулу «корекції»:

dy_n = q_n + ½ dq_n -1/2 dq_n-1 – 1/24 d³ q_n-3. (1.2)

Формула (1.1) називається інтерполяційною формулою Адамса. По формулі (1.1) знаходять спочатку перше наближене значення y⁽⁰⁾ _n+1, а після перерахування, по формулі (1.2), одержують нове значення y⁽¹⁾ _n+1 і по цій ж ітераційній формулі знаходять подальші наближення доти, поки не буде отримане необхідне наближення.

Це відбудеться в тому випадку, коли два наступні значення будуть мало відрізнятися один від одного.

Для роботи з ЕОМ застосовуємо формулу відповідності:

экстраполяційну формулу Адамса

y _n+1 = y _n + h/24 (55 y _n - 59 y _n-1 +37 y _n-2 - 9 y _n-3).

Застосування формул Адамса дозволяє одержати досить велику точність інтегрування, але оцінка похибки досить складна.

Дата добавления: 2014-01-07