Модуль 2. Функции нескольких переменных

Лекция 9. Метрика и окрестности в . Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в . Граница множества. Понятие области в . Скалярная функция нескольких переменных (ФНП) как отображение (). Линии и поверхности уровня. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве. Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).

Лекция 10. Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация для п = 2. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости.

Лекция 11. Полный дифференциал ФНП. Необходимые и достаточные условия того, что выражение является полным дифференциалом (необходимость с доказательством). Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Лекция 12. Неявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявной ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства.

Лекция 13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Формула Тейлора для ФНП (без док-ва).

Лекции 14-15. Экстремум ФНП. Необходимое условие существования экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва). Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при ), функция Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума (вывод для ). Достаточные условия (без док-ва). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.

Лекция 16. Векторная ФНП (ВФНП) как отображение (). Координатные функции ВФНП. Геометрическая интерпретация для . Предел ВФНП. Непрерывность ВФНП. Матрица Якоби ВФНП, якобиан (при ). Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Производная сложной ВФНП в матричной форме.

Лекция 17. Обзорная.

Дата добавления: 2014-01-06