Уравнение для угловой части

Угловая часть волновой функции находится из уравнения

(5.18)

Записывая явный вид оператора Лежандра, имеем

. (5.19)

Перепишем (5.19) в виде

. (6.16)

Итак, при отличны от нуля. Это означает, что при измерении энергии системы мы теперь будем получать не только, но и любые другие собственные значения с вероятностью ≠0.

Система будет находиться в состоянии

,

энергия которого неопределенна и.

§6.3. “Золотое ” правило Ферми

Рассмотрим случай гармонического возмущения. Тогда матричный элемент возмущения. Вычислим

. (6.17)

Если то первым членом можно пренебречь и после несложных преобразований получить вероятность перехода из состояния n в состояние m

(6.18)

В пределе функция. Известно, что для функции Дирака имеет место равенство. С учетом этого свойства

. (6.19)

Самым важным здесь является то, что вероятность перехода пропорциональна времени. Другими словами, вероятность перехода в единицу времени

(6.20)

пропорциональна квадрату соответствующего матричного элемента. Последнее выражение получило название “золотого ” правила Ферми.

Приложение 1. Волновая функция системы многих частиц в формализме чисел заполнения.

Рассмотрим полный гамильтониан системы N тождественных невзаимодействующих фермионов,

частным решением которого является произведение

,

где - ортогональная система собственных функций одночастичного уравнения Шредингера.

Так как мы имеем дело с системой тождественных фермионов, то её волновая функция должна менять знак при перестановке любой пары частиц. Этого можно добиться, представив волновую функцию в виде детерминанта Фока - Слэтера

(П1.1)

Индекс нумерует одночастичные состояния. Если два любых индекса совпадают, то волновая функция обращается в ноль. Как правило, используется стандартная последовательность - Для краткости выражение (П1.1) записывается в форме

, (П1.2)

где символ обозначает число частиц, находящихся в собственном состоянии i с волновой функцией. Числа называются числами заполнения, а (П1.2) – записью координатной части волновой функции многих частиц в представлении чисел заполнения. Для фермионов все числа заполнения могут принимать только два значения 0 и 1. Важно отметить, что, так как образуют полную ортогональную систему собственных функций, то детерминанты Фока – Слэтера также образуют полную ортогональную систему функций. Для бозонов числа заполнения могут принимать любые значения 0,1, 2,….

Формализм чисел заполнения особенно удобен, когда полное число частиц N может изменяться от 0 до ∞. Система базисных функций для этого случая показана в Табл.1.

Таблица 1.

N
	…
и т.д.

Состояние без единой частицы называется истинным “вакуумом”. Совокупность всех функций образует полную ортогональную систему в обобщённом гильбертовом пространстве, где число частиц переменно.

До сих пор мы рассматривали только систему независимых фермионов. В присутствии взаимодействия многочастичные волновые функции должны выражаться в виде линейных комбинаций типа

(П1.3)

Приложение 2. Операторы в формализме чисел заполнения (вторичного квантования).

Представим себе исходную систему, которая находится в состоянии = Пусть теперь эта система подверглась внешнему воздействию, в результате которого она перешла в состояние. Другими словами, действие оператора сводится в уничтожению частицы в одном состоянии и создании (рождении) частицы в другом. Чтобы описать все воздействия в системе, вводят два основных оператора: оператор уничтожения который уничтожает частицу в состоянии, и оператор рождения, который рождает частицу в состоянии.

Для фермионных операторов вводятся правила:

(П2.1)

Отсюда следует, например, что:

= 0,

Все состояния можно получить, действуя операторами на функцию основного состояния

.

Из (П2.1) следует, что операторы и “эрмитово сопряжены” друг с другом, т.е.

, (П2.2)

где знак “ ” соответствует эрмитову сопряжению. Отсюда следует, что сами операторы и неэрмитовы и поэтому не отвечают наблюдаемым переменным. Легко показать, что оператор, который называется оператором числа частиц, является эрмитовым оператором. Оператор полного числа частиц также эрмитов. В общем случае, из (П2.1) следует, что

(П2.3)

Для фермионных операторов рождения и уничтожения выполняются коммутационные соотношения:

(П2.4)

В коммутационных соотношениях уже заложены свойства антисимметрии волновой функции по отношению к перестановкам частиц.

Все операторы квантовой механики можно записать в виде различных комбинаций этих двух операторов. Для этого потребуем равенства матричных элементов оператора, вычисленных в формализме чисел заполнения (вторичного квантования), и в обычном формализме квантовой механики. Тогда одночастичный оператор с матричными элементами

в представлении чисел заполнения будет иметь вид

=. (П2.5)

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть

.

Аналогичным образом показывается, что двухчастичный оператор (потенциал межэлектронного взаимодействия

)

принимает вид

=, (П2.6)

где

Дата добавления: 2014-01-07