Тема 2. Антагонистические игры

Конфликтная ситуация связана с определенного рода разногласиями сторон, но не обязательно предполагает наличие антагонистических противоречий. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонистическая игра – это математическая модель принятия решения заинтересованными сторонами в условиях антагонистической конфликтной ситуации.

Игры с двумя игроками, в которых выигрыш одного из них равен проигрышу другого, известны как игры двух лиц с нулевой суммой или антагонистические.

Наиболее разработанной в теории игр является конечная антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой, называемая матричной игрой.

Рассмотрим конечную антагонистическую игру двух игроков А и В.

Пусть в конечной антагонистической игре двух игроков игрок А располагает m стратегиями: А ₁, А ₂, …, А_m, и у игрока В имеется n стратегий: В ₁, В ₂, …, В_n. Говорят, что игра имеет размерность (m × n). Выбор игроками любой пары стратегий А_i и В_j (i =1, …, m; j =1, …, n) однозначно определяет исход игры, т.е. выигрыш q_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (- q_ij) игрока В.

Общий вид такой матрицы представлен в табл.1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы − стратегиям игрока В.

Таблица 1. Платежная матрица

Если такая таблица составлена, то говорят, что игра G приведенa к матричной форме. Отсюда рассматриваемая игра и получила название матричная. Матрица Q ={ q_ij }, i =1, …, m; j =1, …, n, называется матрицей выигрышей, матрицей игры или платежной матрицей с нулевой суммой. Стратегии А ₁, А ₂, …, А_m игрока А и стратегии В ₁, В ₂, …, В_n игрока В называют чистыми стратегиями.

Пример. Игра «Орел и решка»

Игра состоит в том, что каждый из двух игроков независимо друг от друга выбирает определенную сторону монеты (“герб” или “решка”), затем одновременно называют свой выбор. Если игроки выбрали одну и ту же сторону монеты, то второй игрок платит первому 1 рубль, если разные, то первый платит второму такую же сумму.

Решение.

Пусть стратегии А ₁ и В ₁ - игроки А и В выбирают “герб”, а А ₂ и В ₂ - игроки А и В выбирают “решку”.

Тогда несложно найти, что матрица выигрышей (платежная матрица) этой игры имеет вид:

Пример. Игра «Борьба за рынки»

Фирмы А и В производят одинаковый товар, и в настоящее время каждая «контролирует» 50% рынка. Улучшив качество товара, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. При этом приобретение новых покупателей одной фирмой сопровождается потерей этих покупателей другой фирмой. Исследование показало, что 60% потенциальных покупателей получают информацию через телевидение, 30% - через газеты и 10% - через радиовещание.

Задача каждой фирмы – выбрать стратегию рекламной кампании.

Решение. В данной игре у каждого из игроков по три стратегии:

• А ₁, В ₁ – рекламировать товар через телевидение;
• А ₂, В ₂ – рекламировать товар через газеты;
• А ₃, В ₃ – рекламировать товар через радиовещание.

Поскольку это игра с нулевой суммой, то матрицу выигрышей фирмы А можно представить в следующем виде:

где q_ij – количество покупателей товара фирмы А в процентах, на которое оно увеличивается, если фирма А применяет стратегию А_i, а фирма В – стратегию В_j.

Выбор оптимальных стратегий для каждого из игроков является важнейшим вопросом в теории игр. Оптимальной стратегией игрока в матричной игре называется такая, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш или максимальный средний выигрыш, если игра повторяется неоднократно. В основе выбора оптимальной стратегии лежит расчет на разумного противника, который также выбирает оптимальную стратегию.

Для выбора оптимальной стратегии используют принцип максимина, который предполагает выбор той стратегии, при которой минимальный выигрыш игрока для различных стратегий противника максимален. Максимальным выигрышем (максимином) игрока А или нижней ценой игры называется число а, удовлетворяющее условию:

где a_i – минимальный выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i независимо от того, какую стратегию выберет игрок В.

Стратегия А_i*, максимизирующая минимальный возможный выигрыш игрока А (a_i* = a), называется максиминной стратегией игрока А.

Для игрока В матрица Q представляет собой матрицу потерь. Стратегия В_j*, которая минимизирует максимальные возможные потери игрока В, называется его минимаксной стратегией, а число b – верхней ценой игры (или минимаксом):

где b_j – максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В_j независимо от того, какую стратегию выберет игрок А.

В матричной игре имеет место следующее правило: нижняя цена не превосходит верхней цены (a ≤ b). Если нижняя и верхняя цена игры совпадают, то число q = a = b называется ценой игры. Элемент q_i*j* = q платежной матрицы Q, равный цене игры, называется седловой точкой.

Стратегии А_i*, В_j* являются оптимальными стратегиями игроков А и В соответственно, а их совокупность (А_i*, В_j*) − оптимальным решением или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш q, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша q. В этой ситуации ни одному из игроков невыгодно отклонение от своей оптимальной стратегии, поэтому решение игры обладает устойчивостью (равновесностью). Свойство устойчивости решения игры является важным представлением оптимальности.

В любой матричной игре всегда существуют максиминная стратегия игрока А и минимаксная стратегия игрока В, однако их можно считать оптимальными только при наличии цены игры. Если же в матричной игре нет цены, то всякий исход c, удовлетворяющий условию a < c < b, не является гарантированным исходом ни одного из игроков; тем самым игра становится неопределенной. В этом случае переходят к смешанным стратегиям, что позволяет обеспечить наличие цены для всякой матричной игры.

Дата добавления: 2014-01-07