Уравнение равновесия плоской системы сил

Плоская система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости, как показано выше, имеет вид:

^' = 0;

М_о = _o(_i) = 0. (20)

Итак, для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор ^' представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Величину главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы. Применив для сумм проекций всех сил на оси х и у сокращенные обозначения и , получим для величины главного вектора выражение

R^' = .

Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю; при соблюдении этого условия получим:

= 0; = 0

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю, т.е.

_o(_i) = 0.

В дальнейшем для уравнений равновесия при решении задач будем применять более компактную форму записи: вместо = 0 будем писать = 0; вместо _o(_i) = 0 будем писать _o = 0.

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая – основная форма этих уравнений – выведена выше:

= 0; = 0; _o = 0. (21)

Зачастую при решении задач рациональнее пользоваться другими формами уравнений равновесия.

Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки А, В, С и приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить три следующих уравнения равновесия:

_А = 0; _В = 0; _С = 0. (22)

Это вторая форма уравнений равновесий. Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.

Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:

_А = 0; _В = 0; = 0. (23)

При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В.

Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам, а другую – перпендикулярной к ним, получим существенные упрощения (рис. 21).

Рис. 21

Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид:

= 0; _o = 0. (24)

Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:

_А = 0; _В = 0. (25)

Итак, для произвольной плоской системы сил имеем уравнения равновесия; а для плоской системы параллельных сил – только две. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил – не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.

Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

Дата добавления: 2014-01-07