Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ± j, где - мнимая единица, символ.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис. изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

. Схема связанной четырехпроводной трехфазной цепи

Фазы трехфазного приемника соединяются по схеме «звезда», либо «треугольник». К одной и той же сети трехфазного тока можно подключить как трехфазные приемники, так и однофазные.

Провода, соединяющие источник питания (генератор) с приемником

А – а, В – в, С ­ с, называются линейными, а токи, протекающие по ним, – линейными токами I_A, I_B, I_с или I_Л. Токи, протекающие по фазам приемника, называются фазными I_ф и обозначаются I_а, I_b, I_c..

Так как фаза генератора, линейный провод и фаза приемника соединены последовательно, то при соединении звездой линейный ток равен фазному:

İ _л = İ _ф

Напряжения между началом и концом фазы – фазное напряжение . Таким образом, фазные напряжения генератора, , , а фазные напряжения приемника – ,, . Обычно за условное положительное направление ЭДС генератора принимают направление от конца к началу фазы. Положительное направление тока в фазах совпадает с положительным направлением ЭДС генератора, а положительное падение напряжения на фазе приемника совпадает с положительным направление тока в фазе. Положительным направлением напряжения на фазе генератора, как и на фазе приемника является направление от начала фазы к ее концу. Таким образом, положительное направление напряжения на фазах генератора противоположно положительному направлению ЭДС фаз, а положительное направление напряжения на фазах приемника совпадает с направлением токов.

Напряжения между линейными проводами или между началами фаз называются линейными и обозначаются – , , .

Линейные напряжения определяются через известные фазные напряжения. Это соотношение может быть получено из уравнений, написанных по II ЗК для контуров, если принять направление обхода контуров от начала к концу фаз:

для контура АNВА:

;

для контура ВNСВ:

;

для контура СNАС:

Таким образом, действующее значение линейных напряжений равно векторной разности соответствующих фазных напряжений.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника. В трехфазной системе имеется две узловые точки – нейтраль генератора N и нейтраль приемника – n. Следовательно, напряжение между этими точками согласно методу междуузлового напряжения будет равно

где Y _a, Y _в, Y _c – комплексные проводимости фаз приемника, равные

Y _a = 1/ Z _a, Y _в = 1 / Z _b, Y _c = 1/ Z _c.

При построении векторных диаграмм напряжений удобно принимать потенциалы нейтральных точек N и n равными нулю, т. е. совпадающими с началом координатных осей комплексной плоскости:

Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений

при соединении фаз приемника звездой

Таким образом, на векторной диаграмме удобно направлять векторы фазных напряжений от точки N к точкам А, В и С, т. е. противоположно условному положительному направлению напряжений на схемах.

Для нахождения вектора линейного напряжения U_AB, как следует из необходимо к вектору напряжения U_A прибавить вектор U_B с противоположным знаком. После переноса вектора U_AB параллельно самому себе он соединит точки А и В на векторной диаграмме фазных напряжений. Аналогично строят векторы линейных напряжений U_BC и U_CA.

На векторной диаграмме напряжений векторы фазных напряжений образуют звезду, а векторы линейных напряжений – замкнутый треугольник. Вследствие этого векторная сумма линейных напряжений всегда равна нулю, т. е.

При симметричной системе треугольник линейных напряжений равносторонний. Следовательно, опустив перпендикуляр из начала вектора напряжения фазы А на вектор линейного напряжения U_АВ, определим линейное напряжение U_АВ:

| АВ | = U_АВ = 2 U_А cos30°,

или

U _л = 2 U _ф/2 = U _ф.

Таким образом, если система напряжений симметрична, то при соединении звездой линейное напряжение в (1,73) раза больше фазного напряжения. Предусмотренные и применяемые на практике напряжения переменного тока 127, 220, 380 и 660 В отличаются друг от друга в 1,73 раза. Если U _л = 220 В, то U _ф = 127 В, что обозначают 220/127 В. Кроме того, применяют системы 380/220 и 660/380 В.

Тогда комплексные фазные и линейные напряжения следующие:

; = U _л е ^+j30°; ; ; ;

Как следует из векторной диаграммы и вышеприведенных формул соответствующие фазные и линейные напряжения сдвинуты по фазе на 30 °, причем вектора линейных напряжений опережают вектора фазных напряжений на угол 30°

Дата добавления: 2014-01-07