Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения (нормальное распределение, распределение Гаусса) наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Опр. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной СВ, которое описывается плотностью .

Оно определятся двумя параметрами: а и σ.

Вероятностный смысл этих параметров: а = М(Х), σ² = D(X), т.е. σ – среднее квадратическое отклонение.

Функция нормального распределения F (x) = .

Кривую нормального закона распределения называют нормальной (или кривой Гаусса).

Рассмотрим как меняется нормальная кривая при изменении параметров а и σ:

Если σ=const и меняется а: Меняется центр симметрии.

Если а = const и меняется σ: При увеличении σ кривая станет более плоской.

Т.о. параметр а (т.е. М(Х)) характеризует положение, а параметр σ (среднее квадратическое отклонение) форму нормальной кривой.

Нормальное распределение с параметрами а и σ обозначается N (а; σ).

Если параметры а = 0, σ = 1, то нормальный закон распределения называется стандартным или нормированным N (0; 1). А кривая – стандартной.

Плотность нормированного распределения (функция Лапласа, приложение 1) Функция распределения .

Вероятность попадания нормированной СВ Х в интервал (0, х) можно найти, используя функцию Лапласа Ф(х): Р (0 < Х < х) = .

Функция распределения СВ Х, распределенная по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле: .

Свойства СВ, распределённой по нормальному закону:

1. Вероятность попадания СВ Х, распределённой по нормальному закону, в интервал [ x 1; x 2], равна , .

2. Вероятность того, что отклонение СВ Х, распределенной по нормальному закону, от МО а не превысит величину D > 0 (по абсолютной величине)

В частности, если D = σ: ; D = 2σ: ; D = 3σ: . «Правило трёх сигм»: Если СВ Х имеет нормальный закон N (а; σ), то практически достоверно, что её значения заключены в интервале (а – 3σ; а + 3σ). Нарушение правила является событием практически невозможным .

Пример 8. Полагая, что рост мужчин определённой возрастной группы имеет нормальное распределение СВ Х с параметрами а = 173, σ² = 36, найти:

а) долю костюмов 4-го роста (176 – 182), которые нужно предусмотреть в общем объёме производства. б) сформулировать «правило 3-х сигм».

Решение. а) Р(176£ Х £ 182) = Ф(t₂) – Ф(t₁) = Ф(1,5) – Ф(0,5) = 0,2418.

(где , ).

б) Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а – 3σ = 173 – 3×6 = 155 см до а + 3σ = 173 + 3×6 = 191см.

3. Распределение

(или распределение Пирсона) имеет сумма квадратов n независимых СВ (имеющих стандартное нормальное распределение): .

Стандартная нормально распределенная СВ .

Число степеней свободы СВ равно n.

Число степеней свободы равно числу СВ, её составляющих, уменьшенному на число линейных связей между ними. определяется одним числом – числом степеней свободы ().

График плотности вероятности СВ, имеющей - распределение лежит только в первой координатной четверти и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». Однако с увеличением числа степеней свободы распределение приближается к нормальному.

Распределение применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек - распределения.

4. Распределение Стьюдента(t – распределение)

Пусть СВ , СВ - независимая от Z величина, имеющая распределение .

Тогда величина имеет распределение Стьюдента (t – распределение) с n степенями свободы (записывают T ~ ).

Распределение Стьюдента определяется только одним параметром n – числом степеней свободы.

График функции плотности вероятности распределения Стьюдента имеет симметричный относительно оси ординат колоколообразный вид. При увеличении числа степеней свободы распределение приближается к стандартизированному нормальному. При распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением. t – распределение применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек распределения Стьюдента.

5. Распределение Фишера (F – распределение)

Пусть V и W – независимые СВ, имеющие - распределение (V ~ , W ~). Тогда СВ имеет распределение Фишера (F – распределение) со степенями свободы m и n (записывают F ~. Оно определяется двумя параметрами m и n. При больших m и n оно приближается к нормальному. А также .

Таблица критических значений t-критерия Стьюдента

(- число степеней свободы)

	Уровень значимости-		Уровень значимости-
0,1	0,05	0,01	0,001	0,1	0,05	0,01	0,001
	6,314	12,71	63,657	636,62		1,714	2,069	2,807	3,768
	2,920	4,303	9,925	31,599		1,711	2,064	2,797	3,745
	2,353	3,182	5,841	12,924		1,708	2,060	2,787	3,725
	2,132	2,776	4,604	8,610		1,706	2,056	2,779	3,707
	2,015	2,571	4,032	6,869		1,703	2,052	2,771	3,690
	1,943	2,447	3,707	5,959		1,701	2,048	2,763	3,674
	1,895	2,365	3,499	5,408		1,699	2,045	2,756	3,656
	1,860	2,306	3,355	5,040		1,697	2,042	2,750	3,646
	1,833	2,262	3,250	4,781		1,689	2,031	2,726	3,598
	1,812	2,228	3,169	4,587		1,684	2,021	2,704	3,554
	1,796	2,201	3,106	4,437		1,680	2,014	2,690	3,527
	1,782	2,179	3,055	4,318		1,676	2,009	2,678	3,505
	1,771	2,160	3,012	4,221		1,670	2,000	2,660	3,505
	1,761	2,145	2,977	4,140		1,664	1,994	2,649	3,458
	1,753	2,131	2,947	4,073		1,662	1,990	2,639	3,416
	1,746	2,120	2,921	4,015		1,661	1,987	2,632	3,402
	1,740	2,110	2,898	3,965		1,660	1,984	2,626	3,391
	1,734	2,101	2,878	3,922		1,658	1,980	2,617	3,373
	1,729	2,093	2,861	3,883		1,656	1,978	2,612	3,359
	1,725	2,086	2,845	3,850		1,653	1,972	2,501	3,340
	1,721	2,080	2,831	3,819		1,648	1,965	2,586	3,210
	1,717	2,074	2,819	3,792		1,645	1,960	2,580	3,291

Таблица значений -критерия Фишера при уровне значимости

	161,5	199,5	215,7	224,6	230,2	233,9	238,9	243,9	249,0	254,3
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52

Дата добавления: 2014-01-07