Преобразование координат вектора при изменении базиса

Пусть в линейном пространстве V заданы два произвольных базиса и . Выразим векторы через . Пусть , где - координаты вектора в базисе .

Чтобы выразить векторы базиса через , нужно решить систему уравнений относительно векторов . Эта система имеет единственное решение, поскольку её определитель отличен от нуля.

Пусть –
решение системы. Из коэффициентов и составим матрицы:

которые называются матрицами перехода от одного базиса к другому.

Из соотношений и следует, что .

Пусть – произвольный вектор пространства V, который в базисе имеет координаты, а в базисе – , т. е.

;

.

Выясним, как преобразуются координаты вектора при переходе от одного базиса к другому. Подставим в выражение

.

Сравним полученное выражение с выражением. Коэффициенты при должны быть равны

Аналогично

В матричной форме формулы и запишутся в виде

,

где

; .

Дата добавления: 2014-01-07