Характеристическое уравнение линейного оператора

Теорема 13.1. Если линейный оператор f в некотором базисе имеет матрицу А и в базисе матрицу B, то где - произвольное число; Е - единичная матрица порядка n.

Заметим, что является многочленом степени n относительно .

Определение 9. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А или оператора f.

Определение 10. Характеристическим уравнением линейного оператора f называется уравнение

,

где А - матрица этого оператора в некотором базисе.

Уравнение называется также характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами линейного оператора, а также матрицы А.

Теорема 13.1 утверждает, что характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса.

Определение 11. Система всех характеристических чисел линейного оператора называется его спектром.

Пусть линейный оператор f имеет в некотором базисе матрицу

.

Характеристическим уравнением его будет следующее уравнение:

или, выполняя вычитание матриц,

Определение 12. Решения этого уравнения называются собственными числами матрицы A.

Каждому собственному числу соответствует набор векторов , называемых собственными векторами, они удовлетворяют уравнению . Заметим, что если собственный вектор, соответствующий собственному числу , то этому же числу соответствует и вектор вида где произвольное число.

Дата добавления: 2014-01-07