Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида: .

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.

Объём эллипсоида:.

Площадь поверхности эллипсоида вращения:

Гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением - (однополостный гиперболоид), где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось; или - (двуполостный гиперболоид), где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

· если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

· если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

· если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

ü - эллиптический параболоид, где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх. Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

ü - гиперболический параболоид.

Дата добавления: 2014-01-07