Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки

Рациональные выражения удобно интегрировать, используя различные подстановки. В частности, при решении можно использовать подстановку , тогда , , , . В результате указанной подстановки подынтегральное выражение примет вид рациональной функции. Также решается подстановкой , где . Рассмотрим пример

.

Иногда при решении иррациональных выражений используются тригонометрические подстановки.

.

Задача нахождения первообразной элементарной функции одна из знаменитых математических проблем, которая оказалась неразрешимой принципиально. Оказалось, что многие элементарные функции не интегрируемы, то есть их первообразные не являются элементарными функциями. Свойства таких подынтегральных функций хорошо изучены, составлены подробные таблицы их значений, существуют графики. К ним относятся – интеграл Пуассона, и – интегралы Френеля, - интегральный логарифм и другие. Каждый из них есть функция, которая не является элементарной, хотя подынтегральные функции элементарные. Они играют большую роль в прикладных науках. Так интеграл Пуассона является одним из основных в теории вероятностей и статистике. Эти интегралы являются «не берущимися». Но существует хорошо разработанный аппарат приближения формул с использованием элементарных функций и методы приближенных расчетов, позволяющих оценить и вычислить «не берущиеся» интегралы.

Дата добавления: 2014-01-07