Теорема о среднем значении определенного интеграла

Свойства определенного интеграла.

1)

2) , k=const

3)

4) , если - свойство аддитивности интеграла по мере

5) Интеграл от неотрицательной функции на [ a;b ] - неотрицательное число, то есть: если на [ a;b ], то - свойство знакопостоянства.

6) Если , то .

7) при a<b.

8) .

9)

Рассмотрим функцию интегрируемую на [ a;b ].

Теорема 1. Пусть функция на [ a;b ] удовлетворяет условию , тогда .

Доказательство. Если , то по свойству 6 . Используя свойство 2 и 9 соответственно получим, что и .

Теорема 2. Пусть функция интегрируема на [ a;b ] и на этом отрезке выполняется неравенство , тогда существует число , для которого .

Доказательство. Из теоремы 1 следует , получим . В качестве возьмем число

, тогда .

Следствие из теоремы 2.

Если непрерывна на [ a;b ], то существует точка , для которой выполняется равенство , то есть площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторонами и .

Дата добавления: 2014-01-07