Максимизация прибыли производства продукции

Пусть - количества производимых m разновидностей товара, а их цены – соответственно (все - постоянные величины). Пусть затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек . Тогда функция прибыли имеет вид:

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных при : , .

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных : , (1).

Система уравнений (1) реализует известное правило экономики: предельная

стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Сам процесс нахождения решения системы уравнений (1) зависит от вида функции издержек и может быть достаточно сложным.

Пример. Пусть производятся два вида товаров, их количества x₁ и x₂. Пусть P₁=8, P₂=10 – цены на эти товары соответственно, а - функция затрат. Тогда прибыль является функцией двух переменных .

Необходимые условия локального экстремума приводит к системе уравнений , решением которой является точка (2,4). Так как , то найденная точка (2,4) определяет локальный максимум функции прибыли .

Функция прибыли обычно вычисляется по формуле , (2) где F(K,L) – производственная функция, P – цена продукции, W и R – соответственно факторные цены на труд и капитальные затраты, L – затраты трудовых ресурсов, K – затраты капитала. Рассмотрим две задачи связанные с определением максимума прибыли.

1. Точка (K₀,L₀) называется оптимальным планом, если в ней функция прибыли (2) принимает максимальное значение. Найти предельную норму замещения производственной функции F при оптимальном плане. В точке локального экстремума . Предельная норма замещения вычисляется по формуле , откуда при оптимальном плане получим .

2. Максимизация функции прибыли. Найти оптимальный план и максимум функции прибыли (2), если производственная функция .

В данном случае функция прибыли имеет вид .

Необходимые условия локального экстремума и приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно координат K₀ и L₀ оптимального плана , при этом , откуда получим координаты оптимального плана , .

Подстановка этих величин в функцию прибыли дает её максимум .

Дата добавления: 2014-01-07