КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Коническая винтовая линия
Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь пройденный точкой по образующей все время равен углу поворота конуса (рис.7.10).
Лекция №8 часть 1 Поверхность. Формообразование поверхностей. Поверхности вращения. Винтовые поверхности. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (Поверхности Каталана). Поверхности параллельного переноса.
" Поверхность, одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся различный смысл. 1) В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара - множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие "Поверхность" лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или след движущейся линии. 2) Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям)...." *Большая советская энциклопедия. Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчета и воспроизведения сложных технических поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей, начертательной геометрии составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных графических редакторов. Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z) - многочлен n-ой степени) и трансцендентные (F(x,y,z) - трансцендентная функция). Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые). В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.
Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l 1, l 2 … линии l, перемещающейся в пространстве по определенному закону (рис.8.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму - изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в одной линии или целого семейства линий (m, n, p...). Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.
Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i (рис.8.4). Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i (рис 8.4.а). Алгоритмическая часть включает две операции: 1. На образующей m выделяют ряд точек A, B, C, … F; 2. Каждую точку вращают вокруг оси i.
Гиперболоид вращения – различают одно (рис.8.11а) и двух (рис.8.11б) полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.
Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей. Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.
Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (рис.8.15).
Лекция №8 часть 2 Линия и точка, принадлежащие поверхности. Пересечение поверхности плоскостью. Конические сечения.
Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие позиционные задачи: Задача 1. Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис. 8.17).
Алгоритм решения задачи: 1. Находим точки 1 2, 2 2, 3 2 , 4 2 пересечения проекции линии m2 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l 12, l 22, l 32, l 42. 2. По линиям связи находим проекции точек 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l 11, l 21, l 31, l 41 и определяющих положение проекции линии т1 на поверхности Ф. Задача 2. По одной проекции точки, принадлежащей поверхности, найти точку на поверхности (рис. 8.18).
Алгоритм решения задачи: 1. Через заданную проекцию точки К 1 проводим одноименную проекцию произвольной вспомогательной линии принадлежащей поверхности т 1. 2. Находим точки 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, пересечения проекции линии m 1 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l 11, l 21, l 31, l 41. 3. По линиям связи находим проекции точек 1 2, 2 2, 3 2, 4 2 как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l 12, l 22, l 32, l 42 и определяющих положение проекции линии т 2 на поверхности Ф. 4. По линии связи находим положение проекции точки К 2, как точку принадлежащую вспомогательной линии т 2.
В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая. Рассмотрим решение задачи по определению линии пересечения сферы фронтально - проецирующей плоскостью α (рис.8.19).
Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П 1 и П 3 в виде эллипса, а на плоскость П 2 в прямую линию ограниченную очерком сферы. Охарактеризуем выбранные для построения точки: ·1, 8- две вершины эллипса, определяющие положение малой оси, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы, а горизонтальные проекции являются соответственно высшей и низшей точками сечения ·2, 3- фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П 3. · 4, 5- две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α. · 6, 7- Фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П 1. Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости на ней отмечаем точки 1 2… 8 2. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β - горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 2 2, 3 2 проведем след плоскости β 12, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β 1 и сферы будет окружность m 11, а точки 2 1 и 3 1 лежат на этой окружности по линии связи (в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 1 1 и 8 1, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П 1. Построенные точки 1 1… 8 1 соединим плавной кривой линией с учетом видимости. Задача, когда сферу пересекает плоскость общего положения, например заданная двумя пересекающимися прямыми α (h∩f) решается следующим образом:
1. Произведем замену плоскостей проекций таким образом, чтобы плоскость α стала проецирующей, т.е. переведем плоскость общего положения в частное. h – горизонталь, f - фронталь, чтобы перевести плоскость α в положение проецирующей плоскости необходимо выбрать новую плоскость проекций, либо перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h 1, либо перпендикулярно фронтальной проекции фронталь – f 2 (рис.8.20). 2. Дальнейшее решение аналогично предыдущей задаче. Рассмотрим еще один способ решения позиционной задачи по определению линии, пересечения поверхности вращения и плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α (h∩f) (рис.8.21).
Сечение поверхности Ф плоскостью α (h∩f) и проекции этого сечения на плоскость, перпендикулярную оси i, являются кривыми, имеющими ось симметрии. Для доказательства этого утверждения проведем вспомогательную плоскость β, перпендикулярную оси i. Вспомогательная плоскость пересечет заданную поверхность по параллели p, фронтальная проекция которой p 2, совпадает со следом плоскости β 2, а горизонтальная проекция p 1 - является окружностью. Линией пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью α (h∩f) является горизонталь h 1. Параллель p и горизонталь h 1, находясь в одной плоскости β, пересекаются в точках 1 и 2, которые принадлежат искомой линии. Полученные точки симметричны друг другу относительно плоскости σ, перпендикулярной хорде 1-2 и проходящей через ее середину. Заметим, что плоскость σ, являясь множеством точек, равноудаленных от концов хорды 1 - 2, пройдет через ось i поверхности вращения, все точки которой также равноудалены от точек 1 и 2. Очевидно, что для любой другой пары точек, расположенных на концах хорд других окружностей (но параллельных хорде 1-2), плоскость σ будет также являться плоскостью симметрии. Следовательно, кривая сечения поверхности вращения плоскостью α представляет собой кривую симметричную, осью симметрии которой служит линия пересечения плоскостей α и σ – прямая, пересекающая поверхность в точках 3 и 4 (линия наибольшего ската плоскости α проходящая через ось поверхности вращения). Таким образом, используя вспомогательные горизонтальные секущие плоскости можно получить необходимое множество точек для построения линии пересечения плоскости α и поверхности Ф, которой является эллипс. Поэтому для более точного построения необходимо учитывать точки, определяющие положение осей эллипса (3, 4, 5 и 6) Однако, если не учитывать характерные точки, определяющие границу зоны видимости линии пересечения и высшую и низшую точки этой линии, построение будет неточным. Точки, определяющие зону видимости- 7 и 8, расположены на главном меридиане поверхности. Для построения их, через главный меридиан проведем вспомогательную секущую плоскость γ, параллельную фронтальной плоскости проекций. Плоскость γ пересекает плоскость α по фронтали f 1, которая, в свою очередь, находясь в одной плоскости с главным меридианом, пересекается с ним в искомых точках 7 и 8. Высшая и низшая точки сечения - 3 и 4 находятся на линии наибольшего ската плоскости α, проходящей через ось поверхности Ф т.е. на прямой s. Эту прямую и меридиан поверхности, плоскость которого совпадает с прямой s, повернем вокруг оси i до положения s 1, когда прямая s и плоскость меридиана окажутся параллельными П 2. Отметим при этом, что точка К пересечения прямой s и осью i остается неподвижной, а вращаемый меридиан в итоге совместится с главным меридианом- очерком фронтальной проекции поверхности вращения. Отметим точки пересечения фронтальной проекции главного меридиана и повернутой прямой. Возвращая обратным поворотом прямую s с найденными точками в исходное положение, находим положение точек 3 и 4. Соединив, полученные точки кривой с учетом видимости получим линию пересечения плоскости α с поверхностью Ф.
Лекция №8 часть 3
Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l и пересекала конус по образующим (рис.8.30). Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l и точкой S - вершиной конуса. Пусть основание конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций, тогда линия пересечения вспомогательной секущей плоскости и горизонтальной плоскости проекций ВС пересекает основание конуса в точках D и F. Таким образом в сечении конуса вспомогательной секущей плоскостью получится треугольник DFS. Так как полученный треугольник и прямая l лежат в одной плоскости, точки их пересечения К и М и есть точки пересечения прямой с конусом.
Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Из этого множества выделяют характерные (опорные, или главные) точки, с которых следует начинать построение этой линии. Они позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для определения остальных точек. К таким точкам относятся: экстремальные точки- верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей точки границы зоны видимости и т.д. Следует имеет в виду, что линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в пределах контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей. Иногда целесообразно воспользоваться преобразованием чертежа, чтобы представить пересекающиеся поверхности (или одну из них) в частном положении. Для определения этих точек часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей. Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности. Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер. В общем случае решение задачи по построении линии пересечения двух поверхностей может быть сведено к рассмотренным ранее задачам по определению: 1. Точек пересечения линии с поверхностью; 2. Линии пересечения плоскости и поверхности; 3. Комбинации первой и второй задачи.
Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают проецирующими и параллельными одной из плоскостей проекций - плоскостями уровня. Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях: 1. Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня; 2. Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической; 3. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.
Точки 12 и 62 – пересечения плоскости γ с очерком проекции конуса на плоскость П 2 (главным меридианом), эти точки определяют положение большой оси эллипса, кроме того точка 12 –проекция точки вершины гиперболы и одновременно принадлежит конусу (лежит на очерке фронтальной проекции конуса) и ребру призмы (линии пересечения плоскостей α и β), а точка 62 - проекция точки, одновременно принадлежащей конусу и ребру призмы (линии пересечения плоскостей α и γ); точки 2, 3, 7 и 8 – характерны тем, что их профильные проекции лежат на очерке проекции конуса; 42, 52 - точки, лежащие на середине отрезка 1262 (большой оси эллипса) и определяют положение малой оси эллипса; 9,10 – точки одновременно принадлежащие конусу и ребру призмы (образованному пересечением плоскостей α и β). Рассмотрим последовательность нахождения проекций точек 4 и 5. Через фронтальные проекции этих точек проведем вспомогательную секущую плоскость φ. Эта плоскость пересекает конус по параллели p, а грань призмы по прямой линии m, параллельной ребру. На горизонтальной плоскости проекций пересечение p 1 и m 1 определяют положение точек 41 и 51. Для точного построения кривых линий пересечения поверхностей обозначенных точек не достаточно. После нахождения проекций всех точек их необходимо соединить с учетом видимости.
С помощью вспомогательной секущей плоскости b (плоскости главного фронтального меридиана полусферы) найдены точки 2 и 3, как точки пересечения главного фронтального меридиана полусферы - дуги окружности с с линиями d и g. Плоскость g - плоскость главного фронтального меридиана цилиндра, пересекает полусферу по дуге окружности - k которая в свою очередь пересекаясь с фронтальным меридианом цилиндра l и m определяет положение точек 4 и 5. Аналогично, с помощью плоскости j найдены точки 6 и 7. Точка 8 найдена с помощью фронтально проецирующей плоскости w, параллельной горизонтальной плоскости проекций, которая пересекает полусферу по окружности - экватору h, а цилиндр по окружности основания s. Характерными точками, в данном случае, являются точки 1- 5 и 8, лежащие на очерках проекций поверхностей. Кроме того, точки 1 и 8 определяют границу зоны видимости кривой на плоскость П 1, а точки 4 и 5 – границу зоны видимости на плоскость П 2.
При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном расположении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют метод вспомогательных секущих сфер – концентрических или эксцентрических.
Оси поверхностей G и Q параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точки А (рис.8.33). Эта точка принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер. Каждая из концентрических сфер пересекает поверхности по окружностям - параллелям (а, b, c, d, n), фронтальные проекции которых являются прямыми линиями (а 2, b 2, c 2, d 2, n 2). Проекции точек 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2 и 6 2 пересечения проекций параллелей принадлежат проекции искомой линии пересечения поверхностей. Пересечение главных меридианов определяет крайние точки 7 и 8.
Определения линии пересечения конуса и сферы применение эксцентричных сфер, как поверхностей - посредников. Центры сфер - точки расположены на оси конуса. Сфера пересекает конус и сферу по окружностям, которые пересекаются в двух точках, принадлежащих искомой линии пересечения (рис.8.35а). Верхняя и нижняя точки линии пересечения найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости - плоскости главного фронтального меридиана, пересекающая конус и сферу по треугольнику и окружности, являющимися очерками поверхностей на фронтальной плоскости проекций. Точки определяющие границу зоны видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций, найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости - горизонтальной плоскости уровня, пересекающей сферу по экватору - окружности являющейся очерком шара на горизонтальной проекции, а конус по окружности - параллели. Найденные с помощью вспомогательных поверхностей посредников точки определяют линию пересечения конуса и шара. Рассмотрим на примере определения линии пересечения конуса Q и сферы G (рис.8.35б) применение эксцентричных сфер, как поверхностей - посредников. Центры сфер - точки А 1, А 2 и А 3 расположены на оси конуса. Сфера радиуса R 1 с центром в точке А 1 пересекает конус и сферу по окружностям а и в, которые пересекаются в точках 1 и 2, принадлежащих искомой линии пересечения. С помощью сферы R 2 с центром А 2 исферы R 3 с центром А 3 определено положение точек 3, 4 и 5, 6 соответственно. Точки 7 и 8 найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости a (плоскости фронтального меридиана), пересекающая конус и сферу по главном фронтальном меридианам k и l. Точки 9 и 10, определяющие границу зоны видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций, найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости b (горизонтальной плоскости уровня), пересекающей сферу G по экватору s, а конус Q по окружности p. Найденные с помощью вспомогательных поверхностей посредников точки 1...10 определяют линию пересечения конуса и шара.
Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой. Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 2720; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |