Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня). На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.

Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания. Сила сжатия F = -kx, где k - коэффициент жесткости пружины. Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

кинетическая .

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы. В данном случае:

.
В положении б) :
.

Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

.
Определим отсюда скорость:

Но в свою очередь и, следовательно,
.
Разделим переменные
.
Интегрируя это выражение, получим:
,

где - постоянная интегрирования.
Из последнего следует, что

(7.2)

Сравнивая (7.1) с (7.2), получаем

(7.3)

Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания. Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. При этом:

смещение:
скорость:
ускорение:

Дата добавления: 2014-01-07