Плоская система сил

Момент силы относительно центра

Условие равновесия пар

Доказательство.

Пусть дана пара сил (,) с плечом АВ. Разложим силу на составляющие и, тогда, следовательно, имеем новую пару ().

На плече AC пара () эквивалентна паре (,), причем для любой пары плечо AC удовлетворяет условию или. Теорема доказана.

Таким образом, задаваясь плечом, можно определить, и наоборот.

Теорема. Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты, статически эквивалентны.

Эту теорему доказывать не будем, т.к. она является следствием двух предыдущих теорем.

Совокупность пар называется системой пар.

Теорема. Система пар, расположенных в одной плоскости, эквивалентна одной паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство. Возьмем две пары (,) и (,), произвольно расположенные на плоскости. Приведем их к одинаковому плечу d. Согласно аксиоме А 3, силы, и, можно алгебраически сложить:;. Силы и равны по величине и противоположны по направлению, следовательно, это новая пара с моментом, эквивалентным двум данным парам.

Нетрудно заметить, что. Это значит, что или (момент каждой пары должен быть взят со своим знаком).

Так как взятую систему пар, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной парой, то для равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю:

.

Пусть дана сила F и точка O. Опустим из точки O перпендикуляр на линию действия силы F. Перпендикуляр h называется плечом действия силы F.

Моментом силы относительно произвольно выбранного центра называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор самой силы.

Величина момента силы F относительно центра (точки) O равна взятому со знаком плюс или минус произведению величины силы на длину плеча:

.

Знак «+» в случае, если мысленный поворот тела от действия силы происходит против часовой стрелки; знак «–» – по часовой стрелке.

Точка (центр), относительно которой определяется момент силы, называется моментной.

Момент силы относительно точки равен нулю, если плечо силы равно нулю (), т.е. моментная точка лежит на линии действия силы.

Теорема Пуансо о переносе силы. Всякая сила, приложенная в данной точке A, эквивалентна той же самой силе, приложенной в другой точке B и паре с моментом, равным моменту силы, приложенной в точке A, относительно точки B.

Доказательство. Пусть задана сила, приложенная в точке A. В произвольной точке B приложим уравновешенную систему (,), эквивалентную нулю, причем. Таким образом, силы и образуют пару. Итак, сила эквивалентна и паре (,), причём момент пары равен моменту силы относительно точки B.

Эта теорема позволяет привести все силы, действующие в плоскости, к одному центру.

Дата добавления: 2014-01-07