Теорема об изменении кинетической энергии системы

Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

.

Вычислим кинетическую энергию при различных видах движения твердого тела.

Поступательное движение. В этом случае все точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс –:

,

следовательно,.

Вращательное движение. Пусть тело вращается относительно оси Оz с угловой скоростью w, тогда:

,

где – расстояние от точки до оси вращения, w – угловая скорость. Тогда

,

следовательно,.

Плоскопараллельное движение. При этом движении все точки тела совершают вращательное движение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, следовательно

,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через МЦС. – величина переменная, т.к. положение мгновенного центра скоростей (точки Р) в каждый момент времени меняется. Выразим через (момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс). По теореме Гюйгенса,

,

где d = PC, тогда w d = w PC = V_С,

.

При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Эта теорема является частным случаем более общей теоремы, доказанной Кенигом (1751 г.).

Вспомним, что эта теорема для точки записывается в следующем виде:

.

Составим также уравнения для системы из n точек и почленно их сложим:

или.

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Интегрируя, получим запись теоремы в интегральной форме:

.

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от других теорем внутренние силы здесь не исключаются. Несмотря на то, что, точки B ₁ и B ₂ могут перемещаться по направлению друг к другу, а работы сил будут положительными и сумма работа не равна нулю.

Неизменяемой называется такая система, в которой расстояние между каждыми двумя точками в течение всего времени движения остается неизменным.

По теореме о проекциях скоростей,

или, поскольку,

.

Кроме того,, тогда

.

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил равна нулю, а уравнение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме примет вид:

,

откуда путем интегрирования получим:

.

Изменение кинетической энергии неизменяемой системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних сил.

Дата добавления: 2014-01-07