Лекция 8. Нестационарные модели грунтового основания. Фильтрационная консолидация и ползучесть грунта. Нелинейные модели грунтового основания

Нестационарными моделями грунта называют такие модели, для которых зависимости между напряжениями и деформациями являются функциями времени. Различают два вида таких моделей: фильтрационные модели и реологические модели. С помощью фильтрационных моделей исследуются процессы фильтрационной консолидации, связанные с перераспределением давлений между скелетом грунта и поровой водой при ее отжатии из пор под действием нагрузки. Фильтрационную консолидацию грунта называют также первичной консолидацией. Первичная консолидация протекает в водонасыщенных грунтах при степени их влажности больше 0,8. При меньшей влажности процессами фильтрационной консолидации пренебрегают. Реологические процессы протекают в скелете грунта при степени его влажности меньше 0,8 и напряжениях, больших структурной прочности. Реологические процессы в грунте называют также его вторичной консолидацией. Как в первом, так и во втором случае основной задачей нестационарных моделей является прогноз деформаций грунтов основания на расчетный момент эксплуатации сооружения. В лекции 7 излагалась теория расчета стабилизированных (конечных) осадок основания. В некоторых практических случаях возникает необходимость в инженерном прогнозе осадок основания на расчетный момент времени. К таким случаям можно отнести основания гидротехнических сооружений, основания фундаментов, испытывающих большие горизонтальные нагрузки, сооружения, возводимые на слабых водонасыщенных грунтах и т.п.

1. Одномерная задача фильтрационной консолидации. Лежит в основе фильтрационных моделей грунта и формулируется следующим образом: Бесконечно протяженный тонкий слой грунта высотой 2×h (рис. 8.1) ограничен сверху и снизу дренажными слоями (слоями, абсолютно проницаемыми по отношению к движению воды). На границе дренажных слоев приложено уплотняющее давление р (кПа) или, что то же самое, гидравлический напор Н = р / g_w (м), т.е. избыточное давление в пьезометрических единицах измерения. По толщине слоя грунта избыточное давление распределяется равномерно. Грунт находится в состоянии полного водонасыщения и не обладает структурной прочностью.

Рис. 8.1. Расчетная схема слоя грунта в одномерной задаче фильтрационной консолидации: 1 – бесконечно протяженный тонкий слой водонасыщенного грунта;
2 – дренажные слои; q – направление фильтрационного потока

Изменение пористости грунта в процессе уплотнения происходит линейно в соответствии с законом уплотнения Терцаги. Движение поровой воды подчиняется закону Дарси. В любой момент времени p = p_z + p_w, где p_z – давление в скелете грунта (эффективное давление); p_w – давление в поровой воде (нейтральное давление). Требуется определить зависимость распределения эффективных давлений по глубине слоя грунта в функции от времени, а также установить зависимость во времени осадки слоя грунта, возрастающей от нуля до конечного значения по мере отжатия поровой воды и передачи избыточного давления на скелет грунта. В начальный момент времени (t = 0) избыточное давление полностью воспринимается поровой водой, а давление в скелете грунта равно нулю. Исключение составляют бесконечно малые слои грунта, непосредственно контактирующего с дренажным слоем, давления в которых всегда равны полному избыточному давлению р, так как в дренажном слое давление в воде всегда равно нулю. При t ® ¥ давление в поровой воде стремится к нулю, а избыточное давление р полностью передается на скелет грунта.

Уравнение неразрывности движения поровой воды. Выделим в слое грунта цилиндрический объем (рис. 8.2) высотой dz, вертикальная ось которого z совпадает с направлением фильтрации поровой воды (по кратчайшему расстоянию к дренажному слою). Основания элементарного цилиндра площадью dF являются проницаемыми по отношению к движению поровой воды. Изменение объема воды в цилиндре при заданной скорости ее фильтрации q через нижнее проницаемое основания определится выражением:

(8.1)

Рис. 8.2. Параметры фильтрационного потока в элементарном объеме грунта: q – скорость фильтрационного потока; dVn – изменение объема грунта за счет изменения его пористости; p – давление, передаваемое на элементарный объем грунта внешней нагрузкой; dF – площади проницаемых оснований элементарного цилиндрического объема грунта; dz – высота элементарного цилиндрического объема грунта

Изменение объема пор грунта в элементарном цилиндре в результате его уплотнения избыточным давлением от начальной пористости n за время dt определится выражением:

(8.2)

Уравнение неразрывности движения поровой воды вытекает из равенства изменения объема воды и объема пор в элементарном объеме грунта:

(8.3)

Преобразуем уравнение (8.3) к виду, содержащему эффективное давление p_z, используя для этого закон фильтрации Дарси при преобразовании левой части уравнения (8.3) и закон уплотнения Терцаги для преобразования правой части этого уравнения:

(8.4)

Подставляя выражения (8.4) в уравнение (8.3), получим:

(8.5)

где С_v – коэффициент фильтрационной консолидации, прямо пропорциональный коэффициенту фильтрации и обратно пропорциональный коэффициенту относительной сжимаемости грунта.

Уравнение (8.5) является искомым уравнением неразрывности движения поровой воды. Интегрированием уравнения (8.5) при заданных граничных условиях могут быть получены решения различных задач теории фильтрационной консолидации грунтового основания. Уравнение (8.5) широко известно в физике как уравнение Фурье. С помощью уравнений подобной структуры описывают многие явления в природе, такие как нестационарные процессы теплопередачи, диффузии и т.п. Для одномерной задачи фильтрационной консолидации граничные условия можно представить следующими зависимостями:

(8.6)

Решение уравнения (8.5) с граничными условиями (8.6) может быть представлено в следующем виде:

(8.7)

Симметричные условия двухсторонней фильтрации поровой воды относительно середины слоя можно трактовать как условия односторонней фильтрации при наличии в середине слоя водоупора. В связи с этим практический интерес вызывает давление в скелете грунта на границе водоупора, т.е. на глубине h, и связанное с ним сопротивление сдвигу t (t):

(8.8)

Степенью консолидации называют отношение осадки основания, проявившейся за время t, к величине полной стабилизированной осадки. В условиях одномерной задачи фильтрационной консолидации, когда p = const, степень консолидации можно определить как отношение площади эпюры давлений в скелете грунта в момент времени t к площади эпюры стабилизированных давлений при t ® ¥:

. (8.9)

В большинстве практических случаев можно с достаточной степенью точности ограничиться первым слагаемым в скобках выражения (8.9). Тогда нестабилизированная осадка s_t определится формулой:

(8.10)

Подставляя в формулу (8.10) выражение осадки s в соответствии с решением для одномерной задачи компрессионного уплотнения, окончательно получим:

(8.11)

Таким образом, решение одномерной задачи фильтрационной консолидации отличается от соответствующего решения одномерной задачи компрессионного уплотнения наличием в формуле для вычисления осадки множителя U (t), представляющего собой степень консолидации грунта.

2. Влияние начального градиента на процесс уплотнения водонасыщенного грунта. Запишем выражение для закона фильтрации Дарси с учетом начального градиента:

(8.12)

где i₀ – начальный градиент гидравлического напора.

Если градиент гидравлического напора в поровой воде не превосходит некоторой величины, называемой начальным градиентом, движение в поровой воде отсутствует. Как уже отмечалось ранее, начальный градиент гидравлического напора является одной из фильтрационных характеристик грунта, определяющих степень его проницаемость по отношению к процессам движения поровой воды. Наличие начального градиента приводит к образованию в слое водонасыщенного грунта так называемых «мертвых зон», в которых процессы фильтрационного уплотнения не происходят. Конфигурацию этих зон легко установить, если процесс уплотнения представить графиками давлений, выраженных в пьезометрических единицах H = p / g_w (рис. 8.3).

z

p_w/g_w

Рис. 8.3. Перераспределение давлений в скелете грунта (P_z) с учетом начального градиента (i₀): t₁, t₂, t – время с начала передачи давления (P) на слой грунта толщиной 2×h

В процессе консолидации давления в скелете грунта будут равны p_z = (H ‑ H_w)× g_w, где H – уплотняющее давление; H_w – избыточное давление в поровой воде. При наличии начального градиента избыточное давление в поровой воде уменьшается в процессе консолидации не до нуля, а до конечной величины, равной H_w0 = i₀ × z. На рис. 8.3 граница остаточных давлений в поровой воде изобразится графиками, наклоненными к вертикальной оси под углом j₀, tg j₀ = i₀. При этом влияние начального градиента приводит к уменьшению площади эпюры давлений в скелете грунта на величину площади эпюры остаточных давлений в поровой воде. В конечном счете влияние начального градиента приводит к уменьшению величины стабилизированной осадки. В этом легко убедиться, используя для определения осадки по графикам давлений, изображенным на рис. 8.3, метод послойного суммирования.

3. Другие задачи фильтрационной консолидации. В технической литературе приводятся решения других задач фильтрационной консолидации, к которым относятся: одномерные задачи с учетом неравномерного распределения по толщине слоя уплотняющего давления; задачи, в которых учитывается структурная прочность грунта и сжимаемость газосодержащей поровой воды; плоская и пространственная задача теории фильтрационной консолидации. В современной механике грунтов задачи теории фильтрационной консолидации исследуются как проблемы гидродинамики грунтовых массивов. При этом широко используются численные методы анализа, такие как метод конечных элементов, метод граничных элементов и др. (см., например, Громадка II.Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 330 с.).

4. Границы фильтрационной консолидации. Установление границ фильтрационных процессов имеет практическое значение при исследовании деформируемости во времени водонасыщенных грунтов. Для этих грунтов характерно протекание после завершения фильтрационного уплотнения вторичной консолидации, связанной с развитием деформаций ползучести в скелете грунта. Наиболее надежным способом установления момента окончания фильтрационного уплотнения является измерение в опыте величины порового давления. Стабилизация этого параметра однозначно свидетельствует о завершении фильтрационной (первичной) консолидации. Другие методы основаны на анализе графиков деформирования грунта. Метод Тейлора основан на анализе графика, построенного в осях «осадка – корень квадратный из времени» (рис. 8.4 а). Точка пересечения касательной к этому графику с осью осадок определяет начальную осадку, при которой разрушаются структурные связи в скелете грунта и начинается процесс фильтрационного уплотнения. Метод Казагранде основан на анализе графика, построенного в осях «осадка - логарифм десятичный времени» (рис. 8.4 б). График имеет начальный криволинейный участок и два прямолинейных участка, сопряженных кривой. Пересечение касательных к двум последним участкам графика дают точку, определяющую осадку и время в момент завершения фильтрационного уплотнения грунта (степень консолидации равна единице). С этого момента нестационарные процессы, протекающие в грунте, в основном связаны с ползучестью его скелета.

б)

а)

Рис. 8.4. Методы установления границ первичной и вторичной консолидации грунта: а – метод Тейлора; б – метод Казагранде; U – степень консолидации; S₀ – мгновенная осадка; S_фк – осадка, обусловленная фильтрационной консолидацией; S_п – осадка, вызванная ползучестью грунта

5. Реологические модели грунтового основания. Разработаны одномерные, плоские и пространственные реологические модели грунтового основания. Теоретической основой этих моделей является техническая теория ползучести. Наибольшее распространение для описания реологических свойств грунтов получила наследственная теория ползучести Больцмана – Вольтерры и пластично–вязкая модель Бингама – Шведова. Различают (рис. 8.5) три стадии ползучести грунта.

Рис. 8.5. Стадии ползучести грунта: 1 – затухающая; 2 – незатухающая; 3 – прогрессирующая

Стадия затухающей ползучести. Протекает при напряжениях, не превышающих длительной прочности грунта. Как правило, это диапазон напряжений в фазе уплотнения грунта. Признаком затухания деформаций ползучести является стремление к нулю первой производной от деформации по времени (de / dt ® 0). Стадия незатухающей ползучести характерна для фазы сдвигов, когда уровень действующих напряжений превышает длительную прочность грунта. Признаком незатухающей ползучести является стационарное значение первой производной от деформации по времени (de / dt = const). Незатухающая ползучесть переходит в стадию прогрессирующей ползучести, когда необратимые деформации достигают предельного значения. Этот вид ползучести может протекать как в фазе сдвигов, так и в фазе выпора. Признаком прогрессирующей ползучести является стремление к бесконечности скорости деформации (de / dt ® ¥). В стадии незатухающей и прогрессирующей ползучести протекают дилатансионные процессы, связанные с изменением объема грунта под воздействием касательных напряжений.

Реологическое уравнение для компрессионного сжатия в стадии затухающей ползучести в соответствии с наследственной теорией Больцмана – Вольтерры имеет вид:

(8.13)

где K (t – t) – ядро ползучести; d, d₁ – экспериментально определяемые параметры ползучести; b – коэффициент вида напряженного состояния при компрессионном сжатии.

Наследственный характер уравнения (8.13) поясняется графиком на рис. 8.6. Импульс силового воздействия s (t)× dt вызывает тем большее приращение деформации ползучести, чем более длительное время он действует. При этом время действия силового импульса вычисляется как (t – t), где t – время, отсчитываемое от начала процесса нагружения грунта; t – время, отсчитываемое от момента приложения силового импульса s (t)× dt.

Рис. 8.6. Схема учета длительности нагружения в наследственной теории ползучести Больцмана-Вольтерры

Реологическое уравнение при сдвиге грунта в стадии незатухающей ползучести, основанное на модели пластично–вязкого течения Бингама – Шведова, имеет вид:

(8.14)

где s – нормальные напряжения на площадке сдвига; j – угол внутреннего трения грунта в заданном состоянии (минимальное значение);
с_с – сцепление, соответствующее структурной прочности грунта; h – коэффициент вязкости грунта (кПа×с); g – сдвиговая деформация; t – время.

Сопротивление грунта сдвигу, равное первым двум слагаемым в формуле (8.14), называют длительной прочностью грунта. Уравнение (8.14) используется при проверке устойчивости против сдвига плотин и подпорных стен.

6. Нелинейные модели грунтового основания. Используются для расчета осадок основания, когда напряжения в грунтовом массиве превышают расчетное сопротивление грунта. Основываются на теории коэффициента жесткости или уравнениях теории пластичности.

В нелинейной модели вместо коэффициентов жесткости используют функциональную зависимость осадки поверхности основания в расчетной точке от действующего контактного напряжения (давления). Указанная зависимость имеет вид:

(8.15)

где S¢ – полная осадка основания по рассматриваемой вертикали, определяемая по формуле (7.12) из лекции 7 при давлении p¢; p¢ – среднее давление по подошве фундамента, не превышающее расчетного сопротивления грунта (обычно принимается равным расчетному сопротивления грунта);
p_u – предельное сопротивление грунта основания, определяемое по нормам проектирования оснований фундаментов.

Коэффициенты жесткости основания при разгрузке в этом случае определяются по формуле:

C_zp = p / S_el, (8.16)

где S_el – упругая осадка при давлении р, определяемая по формуле (7.11) из лекции 7.

В исследовательских работах находят применение специальные вычислительные программы для расчета грунтовых оснований, реализующие различные версии теории пластичности (И.П. Бойко, Д.М. Шапиро, А.А. Петраков и др.). В основном указанные программы реализуют модифицированные уравнения состояния теории пластического течения или деформационной теории пластичности для связно-сыпучей среды. Отличие этих уравнений состоит в постулировании различных гипотез о коллинеарности векторов напряжений, деформаций и их скоростей на основании результатов экспериментальных проверок. В связи с этим использование таких вычислительных программ предполагает экспериментальное определение дополнительных характеристик грунтов, устанавливающих параметры нелинейного деформирования, формы дилатансионного разрушения и т.п. Поскольку получение таких характеристик нормами на проектирование оснований не предусмотрено, использование указанных вычислительных программ в проектной практике ограничено.

Значительно большее распространение получили нелинейные алгоритмы, описывающие нелинейную работу грунтового массива, основанные на решении смешанной задачи теории упругости и пластичности для связно-сыпучей среды (А.К. Бугров, А.Б. Фадеев и др.). Здесь предполагается, что до исчерпания прочности грунт деформируется линейно, а после исчерпания прочности переходит в состояние пластического течения. Для решения таких задач вполне достаточно иметь стандартные характеристики деформативности и прочности грунтов, к которым относятся: модуль деформации Е, коэффициент Пуассона n, угол внутреннего трения j и сцепление с.

Методическая последовательность решения упруго-пластической задачи для грунтового массива иллюстрируется ниже приводимым алгоритмом, реализованным в программном комплексе "Полифем". Алгоритм тестирован при определении начального критического давления на весомое основание в соответствии с аналитическим решением (задача Пузыревского).

Грунт представляется связно-сыпучим упруго-пластическим материалом, работающим упруго до исчерпания прочности и переходящим в пластическое течение при последующем нагружении. Диаграмма прочности грунта как анизотропного связно-сыпучего материала описывается с использование условия прочности Кулона-Мора:

(8.17)

где s_z, s_x, t_zx – компоненты тензора напряжений; c_I, j_I – прочностные характеристики грунта для предельных состояний первой группы.

Примечание: В формуле (8.17) сжимающие напряжения в грунте принимаются в соответствии с правилами строительной механики со знаком "минус", что отличается от правила знаков, принятого в механике грунтов.

Для реального напряженного состояния определяется коэффициент k приближения конечного элемента к предельному состоянию. При умножении на этот коэффициент тензора напряжений должно выполняться в конечном элементе равенство (8.17). Таким образом, допредельному состоянию работы грунта соответствует коэффициент k, больший единицы.

Реальные нагружения разделяются на ступени. В пределах ступени нагружение считается условно простым. Таким образом, точность решения задачи увеличивается с уменьшением интенсивностей нагружающих параметров на ступени.

Для учета особенностей сложного нагружения суммарные напряжения в точке (конечном элементе) записываются в следующем виде:

(8.18)

где s_zo, s_xo, t_zxo – начальные напряжения (сумма всех напряжений на предыдущих ступенях нагружения); s_zs, s_xs, t_zxs – приращения напряжений (напряжения на рассматриваемой ступени нагружения); k – коэффициент приближения конечного элемента к предельному состоянию.

Для определения коэффициента k решается уравнение (8.17) при подстановке в него уравнений (8.18). Результат решения представляется следующим алгоритмом:

(8.19)

В качестве расчетного значения коэффициента k принимается

(8.20)

где k_i – коэффициент приближения к предельному состоянию в i ^-ом конечном элементе.

Решение задачи осуществляется безитерационным методом последовательных нагружений. По результатам упругого расчета определяется минимальный для конструкции коэффициент приближения к предельному состоянию и, если он меньше или равен единице, в разрушенных элементах принимается жесткость (модуль деформации), равная машинному нулю. Нагрузка на ступени нагружения учитывается в этом случае как заданная величина, умноженная на коэффициент приближения к предельному состоянию.

Для элементов, перешедших в состояние течения, проверяется условие разгрузки. Признаком разгрузки может являться увеличение коэффициента , отнесенного к суммарным напряжениям, на двух смежных ступенях нагружения. При этом коэффициент вычисляется по формулам (8.19), в которых начальные напряжения (с индексом 'o') принимаются равными нулю, а приращения напряжений (с индексом 's') равными суммарным напряжениям. Если обнаружены элементы, в которых происходит разгрузка, в последних восстанавливается первоначальная жесткость (модуль деформации) и производится перерасчет конструкции для этой ступени нагружения.

Результатами решения задачи являются: полные перемещения, напряжения и деформации на ступени нагружения; коэффициенты приближения к предельным состояниям по напряжениям и деформациям; учитываемые на ступени нагружения нагрузки и воздействия; графическая информация о достижении в элементах системы предельных состояний по напряжениям и деформациям; протокол решения задачи с информацией о достижении предельных состояний в элементах системы и переопределении жесткостных характеристик.

Дата добавления: 2014-01-07