Композиция отображений

Отображения фигур на плоскости.

Определение 1: формулы связывающие координаты x^/, y^/ образа М^/ произвольной точки М и ее координаты x, y относительно выбранной (аффинной или прямоугольной декартовой) системы координат О xy, называются формулами или уравнениями соответствующего отображение.

Определение 2: отображения фигуры F называется тождественным, если все точки фигуры F являются тождественными (двойными).

Обозначение: ε; ε(F)=F; формулы: ε:

^/

^/

^/

^/

^/

Определение 3: параллельным переносом фигуры F называется ее отображение, при котором все ее точки смещаются на одно и тоже расстояние в одном направлении.

Если обозначить, то говорят о параллельном переносе на вектор α и пишут: F^/= (F).

Выведем формулы параллельного переноса.

Пусть, М(x; y), М^/(x^/; y^/). Тогда - по определении 3 или в координатах

Определение 4: поворотом фигуры F вокруг центра С на направленный угол α называется ее отображение, при котором:

1) точка С является неподвижной;

2)

α

М^/

М

любая точка М F отображается на такую точку М^/, что СМ=СМ^/ и.

Обозначение:

С

Определение 5: центральной симметрией с центром С называется поворотом вокруг центра С на угол α=π.

Обозначение: М^/=Z_C(M)=.

У

Пример 1: пусть С=О (0;0), тогда имеем:

У

М

x^/

x

У^/

x

M^/

О С

Определение 6: осевой симметрией c осью р называется отображение фигуры F, при котором ее любая точка М отображается на точку М^/, симметричную точке М относительно прямой р.

N

F

M

M^/

M₀

N₀

F^/

K

K₀

K^/

ММ^/ р, М₀=ММ^/∩р,

ММ₀=М₀М^/.

Р – прямая неподвижных точек

(например, точки М₀, N₀, K₀).

Обозначение: М^/=S_р(М).

у

у

у^/

х

М

М₀

М^/

х^/

х=х^/

р

Пример 2: р=О_х

S_ох:

у

у

у^/

у^/=у

х^/

х

Пример 3: р=О_у

S_ох:

Определение: Композицией или произведением отображений f₁ и f₂ называется отображение f, являющиеся результатом последовательного выполнения системы отображения f₁, затем f₂.

M

f₁

f₂

f = f₂ ° f₁

M^/

M^//

Обозначение: f = f₂ ° f₁.

М^/= f₁ (M); М^//= f₂ (M);

М^//= f₂ °(f₁ (M))= (f₂ ° f₁)(M).

Примеры:

1) е – тождественное отображение, f – произвольное отображение, тогда имеем:

β

α

α+β

М

М^/

М^//

С

е° f = f° е;

2) f₁ =, f₂ =, тогда имеем:

° =

3) f₁ =Z_C= f₂, тогда имеем:

Z_C°Z_C= ° = = =e =e.

4) f₁ = 2₁ =

Найдем формулы композиции f₂ ° f₁.

M(х;у)

f₁

f₂

f = f₂ ° f₁

M^/(х^/;у^/)

M^//(х^//;у^//)

М^/= f₁ (M):

М^//= f₂ (M^/):

М^//= f₂ (f₁ (M))= (f₂ ° f₁)(M): ⇒ f₂ ° f₁:

Координаты исходной точки фигуры обозначают через x и y, а ее образа – x^/, y^/. Поэтому удобнее следующая запись:

f₂ ° f₁: f₁ ° f₂:

Теорема: для композиции отображений справедлив ассоциативный (сочетательный) закон:

f₃ °(f₂ ° f₁)= (f₃ ° f₂)° f₁ (1)

Доказательство.

M^/

M^//

M

M^///

f₂

f₁

f

f₃

f₂°f₁

f₃°f₂

Пусть М – произвольная точка фигуры F и М M^/, М^/ M^//, М^// M^///.

М^//= f₂ ° f₁ (M), М^///= f₃ (M^//)⇒

М^///= f₃ °(f₂ ° f₁)(M) (2)

М^/= f₁ (M), М^///=(f₃ ° f₂)(M^/)⇒

М^///=(f₃ ° f₂)° f₁ (M) (3)

Тогда имеем М М^//, М^// М^///, то есть с одной стороны М М^///, с другой стороны М М^/, М^/ М^///, то есть М М^///.

В следствии произвольного выбора точки М фигуры F из соотношений (2) и (3) следует формула (1).

Замечание: коммутативный закон для композиции отображений иногда справедлив, иногда – нет, то есть в общем случае: f₂ ° f₁f₁ ° f₂.

Примеры:

1) ° =

° =

° = °

2) f₁ =S_p, f₂ =S_q, p q (p и q различны и p q)

М

М^/

М₁^//

р

q

М₁^/

М^//

M М^/ М^//

M М₁^/ М₁^//

М₁^// M^//⇒ S_q° S_p S_p° S_q.

Дата добавления: 2014-01-07