Группа симметрий фигуры

Формулы движений.

Пусть имеется некоторые движение f плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (x ^/;у^/) – координаты ее образа М^/ при движении f в этой же системе координат:

f.

Найдем аналитическое выражение движения f в системе координат, то есть формулы, связывающие координаты точки и ее образа при движении.

Теорема 1: движение 1-го рода задается формулами:

(1)

А движение 2-го рода задается формулами:

(2)

Доказательство.

1)

y

y^/

M

x

y^/

M^/

^/

^/

O^/

y

x

x^/

x^/

x

=

Пусть f – движение 1-го рода, причем согласно замечанию 2 (пункт 4) из §26 при движении прямоугольная декартова система координат отображается на прямоугольную декартову систему координат.

По определению движения имеем: ОМ=О^/М^/ - диагонали прямоугольников с вершинами М и М^/ и сторонами на соответствующих … координат равны. Тогда равны и сами эти прямоугольники. Поэтому точка М^/ имеет в системе координат те же самые координаты х, у, что и точка М в системе координат.

Применим к точке М^/ теорему 2 из §11, учитывая, что движение первого рода типа системы координат:

> (3)

Где () – «новые» ординаты точки М^/ в «старой» системе координат, но теперь они равны и соответственно. В правой части равенств (3) стоят координаты точки М^/ в «новой» системе координат, но теперь они равны х и у соответственно.

Заменим координаты х, у, координатами,, и таким образом получим формулы (1).

2) Если f – движение 2-го рода, то формулы (2)доказываются аналогично, если учесть, что движение 2-го рода изменяет ориентацию плоскости и тип системы координат на противоположные.

Замечания:

1) В формулах (1) и (2) - () – координаты точки О^/ - образа «старого» начала координат О – в «старой» системе координат:.

;

2) Формулы (1) и (2) можно объединить следующим образом:

где ε= 1. (1)

3) Имеет место теорема, обратная доказанной.

Теорема 2: всякое преобразование плоскости, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (1), является движением 1-го рода, а формулами (2) – движением 2-го рода;

4) Формулы движений имеют внешнее сходство с формулами перехода от одной системы координат к другой (см. §11). Однако, формулы движений связывают координаты двух точек – М и ее образа М^/ - в одной и той же системе координат, а формулы перехода связывают одной и той же точки в разных системах координат – «старой» и «новой».

Частные случаи движений:

I. Движения 1-го рода:

1)

2)

вокруг начала координат на угол.

3)

симметрии с центром О (0;0).

II. Движения 2-го рода:

1)

с осью О _х.

2)

с осью О _у.

Пусть - множество всех движений плоскости, переводящих фигуру F в себя. Очевидно, если движения f и g принадлежат множеству, то их композиция и движение g ° f и движение f ^-1: также принадлежат множеству: g ° f и f ^-1. Следовательно, множество есть группа, которая является подгруппой группы D всех движений плоскости.

Определение 1: Если группа содержит элементы, отличные от тождественного преобразования е плоскости, то она называется группой симметрий фигуры F, а ее элементы – симметриями фигуры F. Если состоит из одного тождественного преобразования е, то говорят, что фигура F не имеет симметрий.

Примеры:

1)

А

B

F

120°

C

360°

240°

0°

Группа симметрий правильного ∆АВС с центром О состоит из шести элементов (преобразований): трех поворотов е=,, и трех осевых симметрий: =

2)

p

D

А

B

F

C

Группа симметрий равнобедренного треугольника ∆АВС состоит из двух элементов (преобразований): =, тождественного преобразования е и осевой симметрии. p⊥AB, AD=DB.

3) Группа симметрий разностороннего треугольника ∆АВС состоит из одного элемента – тождественного преобразования е. =, поэтому произвольный треугольник не имеет симметрий.

А

a

b

C

F

В

c

4)

D

d

O

p

A

B

N

M

C

Группа симметрий окружности с центром О радиуса r состоит из бесконечного числа элементов. Любое вращение с центром О и любое отражение от прямой, проходящей через точку О является симметрией окружности.

Определение 2: прямая d называется осью симметрии фигуры F, если f, где f – отражение от прямой d. Точка М₀ называется центром симметрии фигуры F, если отражение от точки М₀ принадлежит группе.

(здесь отражение от прямой – осевая симметрия относительно этой прямой; отражение от точки – центральная симметрия относительно этой точки).

Примеры:

5)

А

M

O

B

C

D

M^/

Параллелограмм, отличный от прямоугольника или ромба, имеет один центр симметрии – центр параллелограмма – м не имеет осей симметрии;

6) Прямоугольник или ромб, отличные от квадрата, имеют один центр симметрии и две оси симметрии d₁ и d₂ – прямые, на которых лежат диагонали ромба или серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника;

А

А

С

В

В

С

D

D

O

O

d₁

d₂

d₁

d₂

7) Квадрат имеет один центр симметрии и четыре оси симметрии – прямые d₁, d₂, АВ, ВD.

А

В

С

D

О

d₁

d₂

8)

d₁

d₂

d₀

F

K₀

K

K^/

l

N₀

N

N^/

M

M^/

M₀

Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров и осей симметрии. Пусть F – точка между параллельными прямыми d₁ и d₂, а d₀ – прямая, параллельная d₁ и d₂ и отстоящая от них на равном расстоянии.

Тогда любая точка М₀ прямой d₀ является центром симметрии фигуры F, а любая прямая l⊥d₀, является осью симметрии этой фигуры.

Дата добавления: 2014-01-07