Введение. Многомерная геометрия

Многомерная геометрия.

Одним из основных понятий математики является понятие пространства. Под пространством понимается логически мыслимая форма или структура, служащая средой, в которой осуществляются другие формы и конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, в которой строятся разнообразные множества точек – фигуры, с которыми связываются такие понятия, как равенство фигур, расстояние между точками, площадь, объем, взаимное расположение фигур и т.д.

Исторически первым и важнейшим математическим пространством является 3-мерное евклидово пространство. Общее понятие о математическом пространстве было выдвинуто в 1854 г. немецким математиком Б.Риманом, в дальнейшем оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: банесхово, векторное, гильбертово, риманово, пространство Лобачевского и другие.

В современной математике пространство определяют как множество каких либо объектов, называемых точками. Ими могут быть векторы, матрицы, фигуры, функции, состояния физических систем и т.д. Рассматривая их множество как пространство, отвлекаются то их реальных свойств и учитывают только те, которые определяются принятыми во внимание основными отношениями. Указанные отношения между точками и фигурами, то есть множеством точек, и определяют “геометрию” самого пространства.

При аксиоматическом ее построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах (αξiωμα - греч. - основное положение, принимаемое без доказательства). Все остальные теории получаются как логические следствия аксиом, то есть доказываются как теоремы.

Многомерная геометрия – это геометрия пространств размерности, большей трех. Построение геометрии таких пространств проводится по аналогии со случаем трех измерений. Исходя из понятия векторного (линейного) пространства, при этом свойства фигур изучают с помощью их определяющих условий: уравнений, неравенств или систем. Любая задача или теорема, связанная с геометрическими образами, решается или доказывается средствами алгебры.

Например, в […] теории относительности рассматривают четырехмерное пространство (пространственно-временной континуум), на осях координат которого три евклидовы координаты x, y, z и время t. Любое событие изображается точкой четырехмерного пространства (мировая точка), а движению некоторой частицы в пространстве и во времени соответствует мировая линия в четырехмерном пространстве.

Важным примером пространства является понятие векторного или линейного пространства. Дадим его определение.

Дата добавления: 2014-01-07