КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
IV. Аксиомы скалярного умножения векторовIV1: = IV2: IV3: IV4: если , то >0 Если , то :
Определение 2: отображение одного евклидова векторного пространства на другое называется изоморфным, если оно: 1.) биективно; 2.) линейно; 3.) сохраняет скалярное произведение векторов;
При этом два указанных векторных пространства называются изоморфными, если одно из них можно изоморфно отобразить на другое. Vn Vm n = m.
Определение 3: длиной (модулем, нормой) вектора называется арифметический квадратный корень из его скалярного квадрата: | | = = . Очевидно: = , если = 0, то = 0; если же ≠ 0, то > 0.
Замечание 1: так как из равенства Коши – Буняковского следует, что -1 ≤ ≤ 1, то указанную дробь можно рассматривать как косинус некоторого аргумента (тэта – буква греческого алфавита).
Определение 4: число , для которого = и 0 ≤ ≤, (1) называется углом между векторами и .
Если = , то векторы и ортогональны, причем = 0. Если = ,то и при к > 0 = 0, а при к < 0 = .
Замечание 2: из соотношения (1) следует формула скалярного произведения векторов: (2)
Определение 5: базис евклидова векторного пространства называется ортонормированным, если его векторы единичны и попарно ортогональны: и , , при .
Теорема 1: в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и выражается формулой: (3) □ (…)·(…)=…■
Следствия: 1.) … (4) 2.) (5) 3.) (6)
2º. Ортогональные преобразования.
Определение 6: квадратная матрица А называется ортогональной, если выполняется равенство: (7) Это соотношение равносильно любому из следующих: (8) где – единичная матрица, и – соответственно обратная и транспонированная для . Если , , то из равенства (8) получаем соотношения:
(9)
Эти равенства показывают, что при транспонировании ортогональной матрицы получается также ортогональная матрица. Так как , то , то есть – определитель ортогональной матрицы может быть равен +1 или -1.
Замечание 3: формулы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису имею т ортогональную матрицу.
Определение 7: линейное преобразование евклидова пространства , называется ортогональным, если сохраняет длину любого вектора: .
Теорема 2: ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение векторов.
□ Для любых векторов и имеем: или (10) Аналогично: (11)
Но - линейное преобразование, поэтому , причём из определения (7) имеем: , , . Равенство (11) перепишем в виде: . (12) Сравнивая (10) и (12), имеем требуемое: ■ Следствие 1: ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами. Следствие 2: ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис также в ортонормированный базис.
Замечание 4: справедливы следующие теоремы:
Теорема 3: для того чтобы линейное преобразование было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица относительно какого-нибудь ортонормированного базиса была ортогональной.
Теорема 4: множество ортогональных преобразований евклидова векторного пространства является группой.
Определение 8: ортогональным преобразованием называется линейное преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов, или изоморфное отображение евклидова векторного пространства на себя.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 741; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |