Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей

Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности

Пусть Ω пространство элементарных исходов, F – множество всех подмножеств Ω. Любому событию A F ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью события A, при этом выполняются аксиомы теории вероятности:

Аксиома 4.1. Вероятность произвольного события неотрицательна, т.е. A F, P(A)0.

Аксиома 4.2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(Ω)=1.

Аксиома 4.3. (счетной аддитивности) Если A₁, A₂,… F и A_i∙ A_j= Ø (ij), то P(A₁+ A₂+…) = P(A₁) + P(A₂) +… или P() =.

Определение 4.4. Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами.

Все другие множества называются несчетными (например, множество точек [a,b] ненулевой длины).

Определение 4.5. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечное или счетное, т.е. Ω={ω₁, …, ω_n} или Ω={ω₁, ω₂,… }.

Любому элементарному исходу ω_i ставится в соответствие число p(ω_i), так что при этом =1.

Определение 4.6. Вероятностью события A называется число P(A)=.

Пример 4.7. Бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения нечетного числа очков.

p(ω_i)=, i =1,..,6, P(A)= p(ω₁, ω₃, ω₅)= ++= = .

Сформулируем следующие предположения:

1. Пространство элементарных исходов конечно: Ω={ω₁, …, ω_n}.

2. Все элементарные исходы равновероятны (равновозможны), т.е. p(ω₁)= p(ω₂)=…= p(ω_n).

Поскольку =1, то p(ω_i)=, i =1,.., n.

Рассмотрим некоторое событие A Ω, состоящее из k элементарных исходов, k n, A= {, ,…,}.

Вероятность события P(A)== =.

Определение 4.8. (классическое определение вероятности) Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятность события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих A, к общему числу всех возможных элементарных исходов P(A)=.

Пример 4.9. Бросается две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб.

Ω={(г,г), (г,р), (р,г), (р,р)}, n= 4.

A= {(г,г), (г,р), (р,г)}, k =3.

Таким образом, P(A)== .

Пример 4.10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Ω={(i,j) | i,j {1,..,6}}, n= 36,

A= { (6,1), (5,2), (4,3), (3,5), (2,5), (1,6)}, k =6,

Таким образом, P(A)== =.

Лемма 5.1. Из m элементов a₁,…, a_n первой группы и n элементов b₁,…,b_n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (a_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждой группы.

(a₁, b₁), (a₁, b₂), …, (a₁, b_n), Всего m∙n пар

(a₂, b₁), (a₂, b₂), …, (a₂, b_n), m строк

… … … … … …...

(a_m, b₁), (a_m, b₂), …, (a_m, b_n).

n столбцов

Пример 5.2. В колоде карт 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт или по 13 карт, тогда в колоде либо n=4∙9=36 карт, либо n=4∙13=52 карты.

Лемма 5.3. Из n₁ элементов первой группы a₁, a₂,…, ,

n₂ элементов второй группы b₁, b₂,…, ,

и т.д. … … … … … … … …

n_k элементов k -той группы x₁, x₂,…, .

можно составить ровно n₁ ∙ n₂ ∙…∙ n_k различных упорядоченных комбинаций вида (…,), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Пример 5.4. При бросании двух игральных костей число различных упорядоченных комбинаций следующее: N = 6² = 36;при бросании трех костей – N=6³=216.

Леммы 5.1 и 5.3 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов { a₁, a₂,…, a_n }. Будем рассматривать выборки объёма k вида (,, …, ) из n элементов. Все выборки можно классифицировать по двум признакам:

1) упорядоченные и неупорядоченные;

2) с возвращением и без возвращения.

Если выборки считаются упорядоченными, то играет роль порядок элементов в выборке. Если же выборка неупорядоченная, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример 5.5. Рассмотрим множество, состоящее из трёх элементов {1,2,3}. Составим таблицу числа выборок объёма k =2 из трёх элементов.

(1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3) (3,1), (3,2), (3,3)	(1,1), (1,2), (1,3) (2,2), (2,3) (3,3)	с возвращением
(1,2), (1,3) (2,1), (2,3) (3,1), (3,2)	(1,2), (1,3) (2,3)	без возвращения
упорядоченные	неупорядоченные	выборки

Общая таблица числа выборок объёма из элементов:

n^k		с возвращением
		без возвращения
упорядоченные	неупорядоченные	выборки

Определение 5.6. Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением.

Число размещений =.

Пример 5.7. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

Ω={(i₁, i₂, i₃) | i₁, i₂, i₃ {2,3,…,12}},{ i₁ i₂, i₂ i₃ } –дополнительное условие для события А. Первое (Ω –упорядоченные выборки с возвращением, n =11³. Число благоприятствующих исходов k ===9∙10∙11. По классическому определению вероятности Р(А)====.

Определение 5.8. Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Число перестановок из k элементов P_k = k! (0!=1).

Определение 5.9. Произвольное k -элементное подмножество множества, состоящего из n элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Обозначается число сочетаний из n элементов по k элементов через

=; k {0,1,…, n }.

Свойства сочетаний:

1) ==1;

2) == n;

3) =;

4) +=.

Дата добавления: 2014-01-07