Поток энергии в волновых процессах

Звук

Напомним физическую природу звуковых явлений. Как известно, для получения чистого звука пользуются камертоном*. Когда камертон издает звук, то шарик отскакивает от его ножки, так как она колеблется (рис. 4.1). Опыт показывает, что источником звука всегда является какое-либо колеблющееся тело, которое в процессе своих колебаний создает в окружающей среде механические волны (рис. 4.2). Когда эти волны достигают уха человека, то они приводят в вынужденные колебания барабанную перепонку внутри уха, и человек ощущает звук. Механические волны, которые вызывают у человека ощущение звука, называют звуковыми.

Звуковые волны в воздухе состоят из сгущений и разрежений, т. е. являются продольными. Ясно, что ощущение звука человек может получить только в том случае, когда между источником звука и ухом человека имеется среда, в которой могут распространяться звуковые волны..

Изучение звуковых явлений показало, что далеко не всякие механические волны могут вызвать ощущение звука у человека. Оказывается, что только волны, частота колебаний которых находится в пределах от 16 до 20 000 Гц, являются звуковыми. Это знает всякий, кто интересуется музыкой вообще и воспроизведением музыки в частности. Главный параметр любого уважающего себя музыкального центра - полоса пропускания. Чем она ближе к упомянутой, тем центр лучше, или дороже[2]. Заметим, что верхняя и нижняя границы частот этих колебаний у отдельных людей могут немного отличаться от указанных выше.

Итак, человек ощущает звук, если выполняются следующие четыре условия:

1) имеется источник звука;

2) имеется упругая среда между ухом и источником звука;

3) частота колебаний источника звука находится между 16 и 20000 Гц;

4) мощность звуковых волн достаточна для получения ощущения звука у человека.

Итак, при распространении в среде упругих (в частности, звуковых) колебаний частицы среды совершают колебательное движение относительно своих положений равновесия. Можно было бы описывать волновое движение, учитывая только смещения и скорости частиц среды. Однако при наличии беспорядочного теплового движения частиц пользоваться таким описанием неудобно. Поэтому принято упругую (и частности звуковую) волну характеризовать периодическими изменениями давления и плотности, которые происходят при последовательных сжатиях и растяжениях (расширениях, разряжениях) среды. Обозначим, например, давление и плотность воздуха в равновесном состоянии через р ₀ и ρ ₀ а их мгновенные значения в данном месте через р и ρ. Тогда,для описания звуковой волны в воздухе можно интересоваться периодическими изменениями избыточного давления Δ р=р-р ₀ или избыточной плотности Δ ρ = ρ –ρ ₀ .

Выясним, при каких условиях в упругих средах возможны гармонические волны вида (3.3). Выделим перпендикулярно к ОХ некоторую площадку S (рис. 4.3) и слой малой толщины Δ l. Допустим, что в положении I избыточное давление слева равно Δ р ₁, а справа , следовательно, на выделенный элемент среды будет действовать результирующая сила Δ F=S (Δ р ₁ – Δ р ₂) = . Масса этого элемента Δ m = ρ S Δ l, где ρ — средняя плотность среды в объеме элемента. Тогда, согласно второму закону Ньютона рассматриваемый элемент среды будет иметь ускорение

(знак «минус» означает, что если избыточное давление Δ р в положительном направлении х возрастает, то сила Δ F и ускорение а будут направлены в обратную сторону).

Так как смещение частиц, среды у зависит от двух переменных: времени и координаты, то ускорение элемента запишем в виде ; тогда

(4.1)

Исследуем правую часть этой формулы. Если бы все частицы среды, находящиеся в рассматриваемом элементе, имели бы одинаковое смещение у, то объем элемента, следовательно, и давление р и плотность ρ внутри него оставались бы постоянными. В этом случае правая часть уравнения (4.1) будет равна нулю и упругой волны в среде не обнаружится. Поэтому необходимо допустить, что при переходе из положения I в II одна грань рассматриваемого элемента среды смещается на у, а другая - на у + Δ у. При таком перемещении объем элемента изменится, вследствие чего давление р станет функцией от координаты х и правая часть уравнения (4.1) будет отлична от нуля. Однако в формуле (4.1) имеются две переменные величины у и р; если исключить одну из них, например давление р, то получим дифференциальное уравнение для смещения элементов среды от положения равновесия. Для этой цели сначала учтем, что величину Δ у следует полагать пропорциональной толщине элемента среды Δ l:

,

где показывает, какое изменение смещения у приходится на единицу длины вдоль оси ОХ.

Тогда относительное изменение объема элемента будет равно:

.

Масса среды в элементе объема не изменяется, поэтому относительное увеличение плотности будет равно относительному уменьшению объема элемента, т.е.

.

Теперь для того, чтобы рассчитать изменение избыточного давления Δ р внутри элемента, необходимо знать зависимость Δ р от ρ или ε.

Если среда – твердое тело, то при малых деформациях можно воспользоваться законом Гука: р= εЕ. Относительное удлинение или сжатие элемента объема будет (для плоской волны S = const) совпадать с относительным изменением его объема; напряжение сжатия или растяжения можно полагать равным среднему значению Δ р внутри элемента, причем увеличение Δ р сопровождается уменьшением объема элемента, поэтому

; .

Подставив в формулу (4.1), получим дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся в твердых телах:

(4.2)

Сравнивая уравнения (4.2) и (3.4), замечаем, что величину Е/ρ следует отождествить с квадратом скорости распространения волны:

(4.3)

Для железа, например, Е= 2·10¹¹ H/м², ρ =7800 Кг/м³, и вычисляя получаем скорость звука V ≈5100 м/c.

В газах процессы сжатия и расширения описываются уравнением

где р – давление, V - удельный объем, а γ – некоторая постоянная величина, зависящая от того как происходят процессы сжатия и расширения. Из этого уравнения следует:

.

Если избыточное давление мало по сравнению с давлением газа р ₀ (а так при обычных условиях и бывает) то

;

Подставив это выражение для в формулу (4.1), вновь получим дифференциальное уравнение (3.4) плоской волны, причем скорость распространения оказывается равной (полагая )

(4.4)

Дифференциальное уравнение плоской волны и формулы (4.3) и (4.4) для скоростей распространения получены при предположении, что избыточные давления Δ р и плотности Δ ρ малы. Найдем изменение этих величин со временем; для любой среды, полагая , получим для плотности:

(4.5)

где через Δ ρ ₀ обозначена амплитуда колебаний плотности среды в волне:

Для колебаний давления Δ р также получаются формулы, одинаковые для всех сред:

; Δ р ₀= ρ ₀ υ ₀ с (4.6)

Таким образом, Δ р и Δ ρ пропорциональны не смещению частиц среды у, а их скоростям υ.

Из уравнений (4.5) и (4.6) можно получить общее выражение для скорости распространения плоской волны в упругой среде

или

Процесс распространения волны в каком-нибудь направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Допустим, что S есть часть фронта плоской волны в некоторый момент t (рис. 5.1). По истечении времени Δ t фронт волны переместится на расстояние Δ l=с Δ t, вследствие чего частицы среды в объеме S Δ l приводятся в колебательное движение. Обозначим через W энергию колебания частиц среды, содержащихся в единице объема; допустим, что объем с Δ t очень мал и поэтому в пределах этого объема энергия W везде одинакова. Можно утверждать, что за время Δ t среда в объеме S Δ l через площадку S получила энергию WS Δ l. Таким образом, за единицу времени через площадку S прошла энергия

Величина Р есть поток энергии волны (в единицу времени) через площадку S (S ориентируют перпендикулярно к направлению распространения волны). Плотностью потока энергии называют энергию, проходящую в единицу времени через единицу площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны:

(5.1)

Так как скорость распространения волны с есть вектор, то и плотность потока энергии есть векторная величина (он называется вектор Умова). Поток энергии измеряется в ваттах, плотность потока — в Вт/м².

В сферической волне, вызванной точечным источником колебаний, плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника колебаний. Для доказательства допустим, что источник колебаний ежесекундно отдает в окружающую среду одну и ту же энергию, равную Е. Эта энергия равномерно распределяется по шаровой поверхности фронта волны S=4πR ², поэтому через единицу площади этой поверхности в единицу времени приходит энергия I= E/4πR ² т.е. I~ 1/ R ². Это соотношение, так же как и формула (5.1), применимо, если только в среде не происходит превращения энергии колебательного движения в другие виды энергии, например в теплоту.

Найдем формулу для расчета W. Рассмотрим некоторый объем среды, размеры которого настолько малы по сравнению с длиной волны λ, что в пределах этого объема фазы и амплитуды колебаний для всех частиц можно считать одинаковыми. Обозначим массу одной частицы через m, число частиц в единице объема — п. Тогда полная энергия колебаний (сумма кинетической и потенциальной энергии) частиц, содержащихся в единице объема, будет равна:

где ρ=nm — плотность среды; y ₀ — амплитуда смещения; υ ₀ = y ₀ ω — амплитуда скорости; ω — угловая частота колебаний частиц среды,- полная энергия гармонического осциллятора. Для сферической волны плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра колебаний, поэтому амплитуда колебаний у ₀ убывает обратно пропорционально первой степени этого расстояния.

Заметим, что, согласно формул (4.5), (4.6) и (3.4), максимумы избыточных давлений и плотностей в волне совпадают не с максимумами смещений у, а с максимумами скоростей частиц среды υ = dy/dt. Поэтому потенциальная энергия сжатых и растянутых участков среды изменяется в фазе с кинетической энергией колеблющихся частиц среды, т. е. вдоль волны оба эти вида энергии (потенциальная и кинетическая) одновременно приобретают наибольшие и наименьшие значения.

При распространении волны в среде происходит поглощение энергии, т. е. превращение механической энергии колебаний в беспорядочное (тепловое) движение частиц среды. Полагая, что в слое толщиной dх количество поглощенной энергии dI на единице площади пропорционально величине I и толщине слоя, получим

dI=-βIdx; .

Величина β называется коэффициентом поглощения энергии волны в данной среде. Так как энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды (смещения, скорости, избыточного давления или плотности), то при прохождении слоя среды толщиной х эти амплитуды будут убывать по закону

y _{0 x} =y ₀ e^-αx; Δ p= Δ p ₀ e^-αx.

Величина α (равная β/ 2) называется коэффициентом затухания колебаний в среде. Для воздуха и некоторых других газов он пропорционален квадрату частоты колебаний: c ²/м; для воды (до ν=10⁶ Гц) c²/м т. е. в 700 раз меньше, чем в воздухе. Например, амплитуда ультразвуковых колебаний с частотой ν=10⁶ Гц уменьшается в e= 2.71 раза в воздухе на расстоянии 1/ α = = 0.05 м, а воде—на расстоянии 33.4 м. Этим объясняется широкое применение звуковых и ультразвуковых волн при исследовании морей, при гидролокации и т. д.

Дата добавления: 2014-01-07