Символы, обозначающие геометрические соотношения между фигурами

№ п/п	Наименование отношений	Обозначение	Примеры	Словесная расшифровка
	Параллельны	‖	a‖b a‖ Σ Σ‖ Ω	Прямые a и b- параллельны Прямая a параллельна плоскости Σ
	Перпендикулярны	⊥	a⊥b a⊥ Σ	Прямые a перпендикулярна прямой b- Прямая a перпендикулярна плоскости Σ
	Скрещиваются	∸	a∸b	Прямые a и b- скрещиваются
	Касаются	∪	a∪ Σ	Прямая a касается плоскости Σ
	Совпадают     Равны	≈   =	AB≈CD ∣AB∣=∣CD∣	Прямая, проходящая через A и B, совпадает с прямой, проходящей через точки CD Длины отрезков AB и CD равны
	Конгруэнтны	≌	∠ABC≌∠MKN	Угол ABC конгруэнтен углу MKN
	Подобны	∾	ABC∾ MKN	Треугольники ABC подобен треугольнику MKN
	Отображение	→	А→А*	Точка А отображается в точку А*
	Отрицание	/	∣AB∣≠∣CD∣	Длины отрезков AB и CD не равны
	Пустое множество	Φ	a⊥b=Φ	Прямые a и b не перпендикулярны (скрещиваются или параллельны)
	Принадлежность: а) принадлежит, является элементом, содержится b) содержит в себе	∈     ∋	А∈а   l∋В	Точка А принадлежит прямой а Прямая l проходит через точку В
	Включения: а) является частью, подмножеством, включается в, содержится в b) включает, содержит в себе	⊂ ⊃	a⊂Σ Σ⊃a	Прямая а лежит в (на) плоскости Σ Плоскость Σ проходит через прямую a
	Объединение множеств	∪	ABCD =[AB] ∪[BC] ∪ [CD]	Ломанная линия ABCD есть объединение отрезков
	Пересечение множеств	∩	а=Σ∩Δ	Прямая а есть пересечение плоскостей
	«И»; и при этом	∧	(AB)⊂Σ ⇔[A∈Σ∧B∈Σ]	Если прямая AB принадлежит плоскости Σ, то точка A принадлежит плоскости Σ и при этом точка B принадлежит плоскости Σ
	«Или»; «Либо»	∨	Σ∥Δ⇔ (Σ≈Δ ∨ Σ∩Δ=Φ)	Плоскости будут параллельны в том случае, если они или (либо) совпадают или не пересекаются
	Логическое следование	⇒	(a∥c∧b∥c) ⇒a∥b	Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
	Равносильность высказываний	⇔	AB∥CD ∧BC∥AD⇔ABCD	Одно выражение равносильно другому

Примеры символической записи высказываний

	Плоскость Σ задана точкой А и прямой l	Σ(A,l)
	Прямая l не параллельна прямой m	l∦m
	Прямая cперпендикулярна плоскостиΔ	c ⊥Δ
	Величина угла между прямыми l и m	l,^⋀ m
	Пересечение прямой l и плоскости Σ является точка M	l∩Σ=M
	Если точка А лежит на прямой l и прямая l принадлежит плоскости Σ, то точка А лежит на плоскости Σ	(A∈l⋀l⊂Σ)⇒A∈Σ
	Если различные прямые параллельны, то они пересекаются в несобственной точке или пересечение параллельных прямых пустое множество.	(l∥m ⋀ l≠m)⇔(l ∩ m=A^∞) (l∥m⋀l≠m)⇒(l∩m=Φ^)
	Если две прямые пересекаются, то существует такая плоскость, которой они одновременно принадлежат.	a∩b⇒[ Σ⊃a ⋀ Σ⊃b]
	Если две прямые скрещиваются, то не существует такой плоскости, которой они одновременно могут принадлежать.	a∸b⇏[Θ⊃a ⋀ Θ⊃b]

III. ТОЧКА И ПРЯМАЯ

Являясь одним из разделов геометрии, начертательная геометрия занимается изучением способов построения отображений (проецирования) пространственных форм на плоскости (поверхности) и способов, позволяющих по данным изображениям этих форм решать задачи геометрического характера.

Проецирование, как и любое отображение, устанавливает определенное правило, позволяющее для каждой точки А (фигуры) пространства указать новую точку А' (фигуру) на плоскости П ', в которую переводится точка А (фигура) рассматриваемым отображением (А→А') и наоборот.

Чертежи, выполненные по правилам отображения (проецирования) позволяют легко установить связь между геометрическими свойствами предметов и свойствами их чертежей.

3. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

В начертательной геометрии фигуры проецируются (отображаются) на плоскость способами центрального и параллельного проецирования.

а) Центральное проецирование

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения отображений геометрических фигур.

Аппарат центрального проецирования состоит из связки прямых с центром S и плоскости проекций П'.

Выделим в пространстве произвольную точку А (B, C …) и спроецируем ее на плоскость проекций П' (Рис.1). Прямая, соединяющая точки S и А пересечет плоскость П' в точке А'. Будем называть плоскость П' – плоскостью проекций; S- центром проекций; полученную точку А' – центральной проекцией точки А, SA- проецирующим лучом.

Положение плоскости П' и центра S определяет аппарат центрального проецирования. Если он задан, то всегда имеется возможность определить положение центральной проекции любой точки (геометрической фигуры) пространства на плоскости проекций. Аналогично можно находить проекции прямых, плоскостей и геометрических фигур. Каждая точка будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис. 1

b) Параллельное проецирование

Частным случаем центрального проецирования будет параллельное проецирование, когда центр будет находится в несобственной точке (бесконечно удаленной) S^∞. Выберем направление проецирования S и плоскость проекций П' (Рис.2).

Выделим в пространстве ряд точек А (B, C …) и спроецируем их параллельно направлению проецирования S на плоскость проекций П'. В пересечении проецирующих лучей с плоскостью проекций получим точки, которые являются параллельными проекциями (отображением) данных точек.

Аппарат параллельного проецирования полностью определяется положением плоскости проекций П' и направлением проецирования S. Каждая точка пространства, при заданном аппарате проецирования, будут иметь одну и только одну параллельную проекцию.

Рис. 2

Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекций в общем случае с искажением (это зависит от способа проецирования и положения проецируемой фигуры по отношению к плоскостям проекций).

При параллельном проецировании нарушается метрическая характеристика геометрических фигур, но при этом между оригиналом и его проекцией существует определенная связь – некоторые свойства оригинала сохраняются на его проекции.

Такие свойства называют проективными или инвариантными (независимыми) для данного способа проецирования.

Основные инвариантные свойства параллельного проецирования:

1. Проекция точки есть точка (Рис.3) А→А'

2. Проекция прямой на плоскость есть прямая n→n'

3. Если в пространстве точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии L∈n⇒L'∈n'

4. Проекция взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, а отношение их отрезков равно отношению их параллельных проекций (Рис.3):

n∥m⇒n'∥m'

[AB] ∥ [CD] ⇒

Рис. 3

5. Точка пересечения пересекающихся прямых проецируется в точку пересечения проекций прямых (Рис. 4)

Рис. 4

6. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру (Рис. 5)

Φ∥ П'⇒Φ'≌Φ

Рис. 5

7. Параллельный перенос оригинала или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекций

Φ'' ∥Φ'⇒Φ''≌Φ'

в) Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частным случаем параллельного проецирования является прямоугольное (ортогональное) проецирование, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций (Рис. 6).

S₁⊥П'; S₁∥ММ_n⇒ММn⊥П'

Рис. 6

Ортогональное проецирование обладает всеми свойствами параллельного проецирования, но оно обладает и другими свойствами. Так справедлива следующая теорема:Для того чтобы прямой угол, составленный двумя пересекающимися прямыми, проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайне мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.7).

Рис.7

В пространстве =90°; AB∥П' и ВС П'=Φ. Докажем, что =90°

Фигура ABB'A' – прямоугольник, следовательно, AB перпендикулярен к проецирующей плоскости BCC'B', т.к. он перпендикулярен к двум пересекающимся прямым этой плоскости: AB по условию и AB - по построению. Но AB∥A'B', следовательно, A'B' ⊥ плоскости BCC'B', поэтому A'B'⊥B'C', т.е. =90°.

4. ОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Из Рис. 6 можно заключить, что по одной проекции нельзя восстановить на форму, ни размеры оригинала, а так же его положение в пространстве. Таким образом, однокартинный чертеж необратим, а следовательно, он не является полным и метрически определенным.

Для того, чтобы получить обратимый чертеж (отображение) на некоторой плоскости П'(Рис. 8) следует выбрать два направления проецирования S₁ и S₂. Точка А будет иметь две проекции: А' по направлению S₁ и А'' - по направлению S₂. Вторая точка В, расположенная на проецирующем луче А-А', по направлению S₁, спроецируется точкой В', совпадающей с точкой А', но по направлению S₂ она спроецируется точкой В'', отличной от точки А''.

Рис. 8

Теперь по чертежу мы имеем возможность сказать, что нем изображены две точки А и В; кроме того, наличие двух проекций каждой из них позволяет определить положение их относительно плоскостей проекций и относительно друг друга. В этом случае можно сказать, что чертеж является обратимым. При ортогональном проецировании получить два изображения на одной плоскости проекций нельзя, т.к. нельзя задать два отличных друг от друга направления проецирования. Поэтому проецирование производится не на одну, а на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (Рис.9).

Рис. 9

Одна из плоскостей располагается горизонтально, обозначается П₁ и называется горизонтальной плоскостью проекций; другая П₂ – вертикальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эти плоскости пересекаются по линии ОХ (иногда обозначают просто Х или Х₁₂), которую называют осью проекций. Эти плоскости делят пространство на 4 четверти. Возьмем в пространстве точку А и спроецируем ее на плоскость проекций П₂ по направлению проецирования S₂ (S₂⊥П₂). Получим ее отображение А→А₂ (проекцию) А₂, которая называется фронтальной проекцией точки А. Проекция точки А на плоскость проекций П₁ называется горизонтальной проекцией точки А. S₁⊥П₁; А→А₁.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (X,Y,Z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей координат. В начертательной геометрии плоскости координат совпадают с плоскостями проекций. При решении задач пользоваться пространственным рисунком неудобно. Его следует преобразовать.

Преобразование пространственного рисунка осуществляется вращением одной из плоскостей проекций вокруг оси ОХ до совмещения обеих плоскостей в одну плоскость чертежа (Рис.10).

Рис. 10

Совмещенное изображение плоскостей проекций называется комплексным чертежом или эпюром. Так как плоскости не имеют границ, то на эпюре показаны только оси проекций. Впервые такое преобразование предложил Гаспар Монж, поэтому часто называют чертеж, выполненный при совмещенном положении плоскостей проекций, эпюром Монжа.

5. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕТЬЕЙ ПРОЕКЦИИ

В ряде случаев бывает целесообразно строить дополнительные проекции геометрических фигур; для этого вводится третья плоскость проекций, которую можно располагать:

1. Перпендикулярно двум плоскостям проекций. Такая плоскость проекций называется профильной плоскостью проекций и обозначается П₃ (Рис. 11).

Рис.11

2. Перпендикулярно одной из плоскостей проекций: или П₁ или П₂. Такие плоскости будем называть неосновными плоскостями проекций (в отличие от основных П₁, П₂, П₃) и будем их обозначать П₄, П₅, П₆, П_n. Плоскости проекций П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей или октантов.

Эпюр (комплексный чертеж) в данном случае получается при повороте плоскостей П₁ и П₃ в направлениях, указанных стрелками до совмещения с плоскостью П₂. А₁, А₂ и А₃ – ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П₁, П₂, П₃ (Рис. 12). Прямые А₁А₂ и А₂А₃ называются линиями связи. Линии связи перпендикулярны осям проекций ОХ и OZ.

Расстояние точки А до плоскостей П₁, П₂, П₃ - это отрезки АА₁, АА₂ и АА₃ (Рис.11). На эпюре (Рис.12) этих отрезков нет, но есть отрезки, им равные.

АА₁= А₂А_х=А₃А_y=Z;

АА₂ = А₁А_х=А₃А_z=Y;

АА₃= А₁А_y=А₂А_z=X

Рис. 12

Следовательно, зная координаты точки X,Y,Z - всегда можно построить три ее проекции на эпюре.

В другом случае (Рис.13) введена дополнительная плоскость проекций П₄, расположенная перпендикулярно только одной из плоскостей проекций П₁ (можно было ввести П₄⊥П₂). Построение третьей проекции точки А производится аналогично построению, описанному а первом случае.

Рис.13

Для получения эпюра (Рис. 14) плоскости проекций П₂ и П₄ совмещают с плоскостью П₁, вращением плоскости проекций П₂ вокруг оси Х₁₂ до совмещения с П_1, и вращением плоскости проекций П₄ вокруг оси Х'₁₄ до совмещения с П_1. При этом образуется дополнительный эпюр с осью Х'_14.

Рис.14

(Будем называть плоскость проекций, с которой совмещаются две другие плоскости проекций – базовой плоскостью проекций, а проекцию на ней – базовой проекцией. Базовая проекция остается неподвижной и соединяет линиями связи, перпендикулярными к соответствующим осям Х₁₂ и Х'₁₄ две другие проекции, которые будем называть небазовыми проекциями. Причем расстояние от одной небазовой проекции до ближайшей оси проекции всегда равно расстоянию другой небазовой проекции до ближайшей оси_).

На Рис. 14 точка А задана проекциями А₂ и А₁ в системе П₂⊥П₁. Введение дополнительной плоскости проекций П₄ образована система плоскостей проекций П₄⊥П₁ с осью Х'₁₄ и построена третья проекция точки А. Для построения третьей проекции через А₁ проведена линия связи, перпендикулярная к оси Х'_14, и на ней от Ах' отложено расстояние, равное расстоянию от точки А до П₁, которое задано в системе плоскостей П₂⊥П₁ отрезком А₂А_х (А₄А'_х=А₂А_х).

На Рис. 15 построена третья проекция точки В на плоскости проекций П₄, которая перпендикулярна П₂ (П₄⊥П₂). При этом плоскость проекций П₂ остается неподвижной, а П₁ и П₄ при вращении совместятся с П₂ в одно поле чертежа.

В этом случае фронтальная проекция точки В2 будет называться базовой и остается неподвижной. Линии связи В₂В₁⊥Х₁₂ и В₂В₄⊥Х'₂₄. Расстояние одной небазовой проекции В₁ до оси Х₁₂ будет равно расстоянию другой небазовой проекции В₄ до оси Х'₂₄.

Рис. 15

6. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ

Прямую следует рассматривать как некоторое множество точек. Для построения отображения прямой достаточно задать отображение двух точек, принадлежащих ей, или отображение одной точки и направления.

По своему положению относительно плоскостей проекций прямые делятся на прямые общего и частного положения.

ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Прямыми общего положения называются прямые, произвольно наклоненные к плоскостям проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется искаженно, так же, как и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций (Рис. 16,а), l≠(l₁и l₂).

При изображении прямой на эпюре можно пользоваться свойством параллельного проецирования (свойство 7), которое позволяет, если в этом нет необходимости, не указывать на эпюре осей проекций, т.е. пользоваться безосным чертежом (Рис. 16 б).

Рис. 16

ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

I. Прямые уровня – это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций (Рис. 17).

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонталью и обозначается h (Рис. 17 б). Горизонтальная проекция горизонтали h₁ может занимать любое положение, а фронтальная проекция горизонтали h₂ всегда параллельна оси Х.

h∥П₁⇒(h₂∥x и h₁≌h; ∠β₁≌∠β

Рис. 17

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П₂, называется фронталью и обозначается f (Рис. 17 в). Фронтальная проекция фронтали f₂ может занимать любое положение, а горизонтальная проекция фронтали f₁ всегда параллельна оси Х.

f∥П₂⇒(f₁∥x и f₂≌f; ∠α₂≌∠α)

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П₃, называется профильной прямой и обозначается р (Рис. 17 г). Профильная проекция прямой р₃ может занимать любое положение, а горизонтальная р₁ и фронтальная р₂ всегда перпендикулярны оси Х.

p∥П₃⇒(p₁⊥x; p₂⊥x и p₃≌p; ∠α₃≌∠α, ∠β₃≌∠β

Проецирующие прямые - прямые, одновременно параллельны плоскостям проекций или перпендикулярны одной плоскости проекций (Рис.18).

Рис. 18

Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂, называется фронтально-проецирующей прямой (Рис 18 б)

m ⊥ П₂⇒ m₁ ≌ m; m₂-точка

Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонтально-проецирующей прямой (Рис 18 в)

l ⊥ П₁⇒ l₂ ≌ l; l₁-точка

Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П3, называется профильно-проецирующей прямой (Рис. 18 г)

р ⊥ П₃⇒ р₂ ≌ р₁≌ р; р₃-точка

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПОСТРОЕНИЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Отрезок общего положения проецируется на плоскость проекций с искажением. Проекция отрезка всегда меньше его натуральной величины.

А₁В₁<АВ и А₂В₂<АВ

Рассмотрим Рис. 19.

Рис. 19

Через точку В (Рис. 19 а) проведем прямую ВК∥А₁В₁. Так как АА₁∥ВВ₁, то ВК≌А₁В₁. Мы получили прямоугольный треугольник АКВ с катетом АК и КВ и гипотенузой АВ. Катет КВ равен горизонтальной проекции А₁В₁; катет АК равен разности удаления концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций (Z_А-Z_B); гипотенуза АВ есть натуральная величина отрезка ∣АВ∣.

Проделаем эти же построения на эпюре (Рис. 19 б). Проведем прямую А₁А⊥А₁В₁ и отложим от точки А₁ на этом перпендикуляре А₁А*=(Z_A-Z_B). Гипотенуза ∣А*В₁∣=∣АВ∣. Угол А₁В₁А*= ∠α₁ –наклона АВ к плоскости П₁, ∠α₁≌∠α.

Аналогичные построения можно выполнить, приняв за катет А₂В₂. Тогда второй катет равен (Y_A-Y_B) и получаем угол ∠β - наклона АВ к плоскости П2.

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПОСТРОЕНИЕМ ТРЕТЬЕЙ ПРОЕКЦИИ

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и определение углов наклона ее к плоскостям проекций можно использовать преобразование эпюра и строить третью проекцию прямой. При этом вводят третью плоскость П₄, располагая ее параллельно заданной прямой.

На Рис. 20 новая плоскость проекций П4⊥П1и П4∥АВ. При этом новую ось проекций Х'14 проводим параллельно горизонтальной проекции прямой А1В1, которая является базовой проекцией и остается неизменной.

Рис.20

Обозначение новой оси проекций Х'₁₄ следует понимать так: Х₁₄ – результат пересечения плоскостей П₁ и П₄; Х'- производится первая замена плоскостей П₂ на П₄. Новую ось Х'₁₄ следует проводить в таком месте чертежа, чтобы было свободное место для построения новой проекции А₄В₄. Построение новой проекции А₄В₄ проводим по точкам так же, как это сделано на Рис. 14:

∣А₄А_х∣=∣А₂А_х∣ и ∣В₄В_х∣=∣В₂В_х∣

Аналогичное построение при замене плоскостей проекций П₁ на П₄ и определение натуральной величины отрезка [CD] сделано на Рис. 21. Найден ∠β₄≌∠β (смотри построение на Рис. 15).

Рис. 21

На Рис. 22 и Рис. 23 заданы прямые уровня – горизонталь h и фронталь f. С помощью одного преобразования эпюра каждую из этих прямых превратили в проецирующую, в первом случае h⊥П₄ (Х'₁₄⊥h1), во втором -f⊥П₄ (Х'₁₂⊥f2).

Рис. 22 Рис. 23

Для того чтобы прямую общего положения путем преобразования эпюра превратить в проецирующую, необходимо 2 последовательных замены плоскостей проекций. Следует помнить, что преобразовать прямую общего положения в проецирующую сразу, т.е. путем одной замены плоскостей проекций, нельзя.

9. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ

Если точка принадлежит прямой, то проекция точки располагается на одноименных проекциях прямой (смотрите Рис. 16).

K∈l⇒K₁∊l₁ и K₂∊l₂

10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

В пространстве две прямые могут пересекаться или скрещиваться.

Две прямые могут пересекаться в том случае, если они лежат в одной плоскости. На эпюре их одноименные проекции должны пересекаться, а проекции точки их пересечения должны лежать на общей линии связи (Рис. 24).

a ⋂ b⇒(a₁ ⋂ b₁ и a₂ ⋂ b₂), K₁K₂⊥x

Рис. 24

Прямые линии пересекающиеся в несобственной точке, называются параллельными. На эпюре их одноименные проекции параллельны (Рис. 25)

c∥d⇒(c₁ ∥d₁ и c₂ ∥d₂)

Рис. 25

Если прямые не принадлежат одной плоскости, т.е. не пересекаются и не параллельны, то они скрещиваются (Рис. 26)

m∸n

Рис.26

Частный случай пересекающихся прямых

Две взаимно перпендикулярные прямые спроецируются взаимно перпендикулярно на плоскость проекций, если одна из них параллельна плоскости проекций, а другая не будет ей перпендикулярна (Рис. 27). (Смотрите теорему, Рис. 7).

Рис. 27

IV. ПЛОСКОСТЬ

II. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЭПЮРЕ

Плоскость – это совокупность однородных или различных множеств. Плоскость считается заданной, если из всех точек пространства можно выделить только те точки, которые принадлежат данной плоскости.

Определителем плоскости называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания плоскости.

Определителями плоскости могут быть:

1. Три точки, не лежащие на одной прямой (Рис. 28 а); Σ(АВС)

Рис. 28

2. Прямая и точка вне ее (Рис. 29); θ (l, A)

Рис. 29

3. Две параллельные прямые (Рис. 30); Ω (m∥n)

Рис. 30

4. Две пересекающиеся прямые (Рис. 31а) Γ(b⋂c)

Рис. 31

Удобно задавать плоскость пересекающимися прямыми, но не общего положения, а частного. На Рис. 31 б плоскость задана пересекающимися горизонталью h и фронталью f.

12. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости или проходит через одну точку, принадлежащую плоскости, параллельно какой-либо прямой этой плоскости (Рис. 32).

Γ(АВС): l⊂Γ, т.к. l⊂12, а 12⊂Γ; m⊂Γ, т.к. m∋3 и m∥AB, a 3∈Γ

Рис. 32

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости. На Рис. 33 показано построение фронтальной проекции точки А₂, принадлежащей плоскости Σ(m∥n), по заданной горизонтальной проекции А₁.

А∈Σ, т.к. А∈12, а 12⊂Σ

Рис. 33

13.ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Главные линии плоскости – это особые прямые, принадлежащие плоскости, позволяющие более точно выявить ориентацию плоскости отьносительно плоскостей проекций и упростить решение многих задач.

Главными линиями являются прямые уровня: горизонталь- h; фронталь - f; профильная – p; а также линии наибольшего наклона, при помощи которых можно определить угол наклона плоскости к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃.

1. Горизонталь – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельна плоскости проекций П₁ (Рис. 34)

h⊂Σ (l⋂b), т.к. h⊂12, а 12⊂Σ; h∥П1⇒h2∥X

Рис. 34

2. Фронталь – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная плоскости проекций П2 (Рис. 35).

f⊂θ (m∥n), т.к. f⊂12, а 12⊂θ; f∥П₂⇒f₁∥X

Рис. 35

3. Линия наибольшего наклона-это прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярны соответственно горизонталям, фронталям и профильным прямым (Рис. 36).

h⊂Σ и h∥П₁; l⊥h; =∠α, т.к. l⊂Σ, а ∠α

Рис. 36

На Рис. 37 показано; как провести в плоскости треугольника АВС через точку В линию наибольшего наклона к плоскости проекций П₁. Линия наибольшего наклона к плоскости П₁ называется еще линией ската (по направлению этой линии «скатываются» капли жидкости). На основании теоремы о проецировании прямого угла:

BD ⊥ h; h∥П₁⇒ B₁D₁ ⊥ h₁, BD ⊂Σ и h⊂Σ

Рис. 37

14. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций называются проецирующими. Они характеризуются тем, что хотя бы одна из проекций плоскости будет вырождаться в прямую линию – след этой плоскости, а все геометрические элементы (фигуры), принадлежащие этой плоскости, будут проецироваться на след этой плоскости.

1. Проецирующие плоскости

Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонтально-проецирующей плоскостью (Рис. 38)

Ω(l ⋂ n) ⊥ П₁; Ω ⋂ П₁=Ω₁- след плоскости, l₁=n₁=Ω₁; ∠β₁≌∠β

Рис. 38

Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂, называется фронтально-проецирующей (Рис 39)

Σ(АВС) ⊥ П₂; Σ ⋂ П₂=Σ₂ - след плоскости, А₂В₂С₂=Σ₂; ∠α₂≌∠α

Рис. 39

Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций П₃, называется профильно-проецирующей плоскостью (Рис. 40)

Θ(l, A) ⊥ П₃; θ ⋂ П₃ = θ₃ - след плоскости, l=θ₃ и А₃ ∈θ₃; ∠α₃≌∠α, ∠β₃≌∠β

Рис. 40

2. Плоскости уровня, или дважды проецирующие плоскости

Плоскость параллельная П₁, называется горизонтальной плоскостью (Рис41)

А₂В₂С₂=Σ∥Х, А₁В₁С₁≌АВС

Рис. 41

Плоскость параллельная П₂ называется фронтальной плоскостью (Рис. 42)

Ω (l ⋂ m)∥П₂; Ω⋂П₁=Ω₁ – след плоскости, l₁=m₁=Ω₁∥X[A1]

Рис. 42

Плоскость, параллельная П3, называется профильной плоскостью (Рис. 43)

θ (l, А)∥П₃; θ⋂П₁=θ₁ и θ ⋂ П₂ = θ₂– следы плоскости, l₁= θ₁ и l₂= θ₂; θ₁ и θ₂ ⊥ X[A2]

Рис. 43

15. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕТЬЕЙ ПРОЕКЦИИ (Преобразование эпюра плоскости)

Иногда для удобства решения задач приходится преобразовывать плоскость общего положения в плоскость проецирующую. Известно, что плоскость перпендикулярна другой плоскости, если одна из плоскостей содержит в себе прямую, перпендикулярную другой плоскости.

При преобразовании плоскости общего положения в проецирующую, достаточно преобразовать прямую, принадлежащую этой плоскости, в проецирующую. В качестве таких прямых (смотрите Рис. 22, Рис. 23) следует использовать линии уровня, т.е. проводить в плоскости горизонталь или фронталь.

На Рис. 44 показано преобразование плоскости общего положения Σ(АВС) в проецирующую в системе П₄⊥П₁. Проводим в плоскости (можно через точку А) горизонталь h(h₂∥X₁₂). Водим плоскость проекций П₄⊥П_1. Чтобы плоскость П₄ была бы перпендикулярна Σ, надо чтобы она была перпендикулярна горизонтали h. На основании теоремы о проецировании прямого угла новая ось проекций Х'₁₄ ⊥h₁. Затем находим новые проекции точек на плоскости П₄: А₄В₄С₄ (смотрите Рис.14), для чего откладываем отрезки А₄А_Х'=А₂А_Х, В₄В_Х'=В₂В_Х и т.д. След (третья проекция) Σ₄ проходит через точки А₄ и В₄

П₄⊥Σ⇒П₄⊥h, ∠α₄≌∠α

Рис. 44

16 ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В позиционных задачах рассматривается только положение геометрических образов (фигур) относительно плоскостей проекций и относительно друг друга, без учета их метрической сущности, т.е. без их измерений.

Все позиционные задачи могут быть разбиты на три группы:

1. Задачи на взаимное расположение геометрических образов (прямая и плоскости общего и частного положения).

2. Задачи на принадлежность одного геометрического образа другому (принадлежность точки и прямой; прямой и плоскости, точки и плоскости).

3. Задачи на пересечение геометрических образов:

· задачи на пересечение двух линий;

· задачи на пересечение линии и плоскости;

· задачи на пересечение плоскостей.

17. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Плоскости всегда имеют общий элемент – линию их пересечения, которая может быть собственной или несобственной. Для определения линии ввести дважды плоскости-посредники Σ и Ω (Рис. 45). В качестве посредников следует выбирать плоскости частного положения.

(Σ⋂Δ=а) ⋂ (Σ⋂Ψ=b)=M; (Ω⋂Δ=c) ⋂ (Ω⋂Ψ=d)=N; MN –искомая линия

Рис. 45.

На Рис. 46 показано построение линии пересечения двух плоскостей общего положения Δ (a⋂b) и Ψ(m∥n).

1. Вводим плоскость-посредник Σ (фронтально-проецирующую) Σ⊥П₂, (Σ⋂Δ=12) ⋂ (Σ⋂Ψ=34)=М

2. Вводим 2-ю плоскость-посредника Ω ⊥П₂

(Ω⋂Δ=56) ⋂ (Ω⋂Ψ=78)=N

MN –искомая линия пересечения

Рис. 46

Если одна или обе пересекающиеся плоскости проецирующие, то построение линии пересечения значительно упрощается.

На Рис. 47 приведено построение линии пересечения двух плоскостей: Δ(c⋂d)-общего положения и Γ- горизонтально-проецирующей. Как уже было сказано, построение упрощается, т.к. горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным следом плоскостиΓ₁, Δ⋂Γ=12, 1₁2₁=Γ₁, 1∈с, 2∈d

Рис. 47

18. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Для определения точки пересечения прямой l с плоскостью Δ в общем случае, необходимо последовательно выполнить следующие l⋂Δ=M (Рис. 48):

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость

Ω⊂l;

2. Построить линию пересечения 12 данной плоскости Δ со вспомогательной Ω, 12 = Ω⋂Δ

3. Определить точку М пересечения построенной линии 12 с заданной прямой l

М=12 ⋂ l

4. Определить видимость (метод конкурирующих точек)

Рис. 48

На Рис. 49 построена точка пересечения прямой общего положения l и проецирующей плоскости Γ; Γ ⋂ l=M; Γ⊥П₂⇒Γ₂; М₂=Γ₂; М₂∈l⇒(M₂∈l₂ и M₁∈l₁

На Рис. 50 построена точка пересечения М проецирующей прямой l и плоскости общего положения Σ, Σ(a⋂b), l⊥П₂, Σ ⋂ l=M, M2=l2, M∈Σ, M∈12, 12⊂Σ

Рис.50

На Рис. 51 показано построение точки пересечения прямой общего положения l и плоскости общего положения Σ, Σ(АВС)⋂l=M

1. Ω⊂l; Ω⊥П₂; Ω⋂П₂=Ω₂, Ω₂=l2

2. Ω⋂Σ=12

3. 12⋂l=M

Рис. 51

4. Определение видимости: на П₂: l∸BC, 1∈BC, 3∈l, смотрим на П₂ с П₁: проекция точки 3₁ к нам ближе, значит, прямая l₂ на П₂ в точке (1₂=3₂) будет видимой. на П1: l∸АВ, 4∈АВ, 5∈l, смотрим с П2: проекция точки 4₂ к нам ближе, значит прямая АВ в точке (4₁=5₁) будет видимой, а прямая l-невидимой до точки пересечения М с плоскостью.

Видимость определяется при помощи конкурирующих точек, лежащих на срещивающихся прямых (Рис. 52).

Рис. 52

На Рис. 53 показано построение линии пересечения двух плоскостей с помощью двух плоскостей посредников, проходящих через стороны АВ и LK, Γ⊃АВ, Γ⋂DKL=12, 12⋂AB=M; θ⊃ LK, θ⋂ABC=34, 34⋂LK=N; MN линия пересечения

20. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Если у двух плоскостей линия пересечения несобственная прямая, т.е. она бесконечно удалена, то плоскости параллельны.

На комплексном чертеже две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Ω (c∥d), 12⊂Ω, l∋M, l∥c; h∋M, h∥12⇒Σ(l⋂h)∥Ω

Рис. 54

21. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая, параллельная плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. На Рис. 55 через точку К проведена прямая l, параллельная плоскости Σ(a⋂b). Проводим в плоскости Σ произвольную прямую 12. 12⊂Σ, l∋K l∥12⇒l∥Σ

Рис. 55

22. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Из стереометрии известно, что прямая n перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым этой плоскости (Рис. 56).

Рис. 56

Вместо произвольных пересекающихся прямых можно провести в плоскости h и f. Тогда прямая и плоскость общего положения будут взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, если проекции прямой будут перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих линий уровня, т.е. горизонтальная проекция прямой –перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали n₁⊥h1, а фронтальная проекция прямой-перпендикулярна фронтальной проекции фронтали n₂⊥f₂ (по теореме о проецировании прямого угла).

На Рис. 57 показано, как восстановить перпендикуляр к плоскости в точке А. Прямая n перпендикулярна к плоскости Σ (f⋂h), так как n₁⊥h1 и n₂⊥f₂ (Рис. 57 а).

Рис. 57

На эпюре (смотрите Рис. 57 б). Перпендикуляр к плоскости называют нормалью и обозначают «n». Используя условия перпендикулярности прямой и плоскости, можно при помощи нормали (перпендикуляра) определить напраление плоскости и строить плоскости заданных направлений.

На Рис. 58 показано, как из точки А опустить перпендикуляр на плоскость Σ(f⋂h). Определить направление нормали n плоскости Σ.

На Рис 59 – как через точку М провести плоскость Γ, зная направление нормали n.

Рис. 58 Рис. 59

23. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Как известно из стереометрии, если две плоскости взаимно перпендикулярны, то каждая их них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Иначе, две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Отсюда следует два способа построения взаимно перпендикулярных плоскостей Σ и Ω: либо плоскость Ω проводится через прямую n, перпендикулярно плоскости Σ; либо плоскость Σ проводится перпендикулярно прямой n, принадлежащей плоскости Ω.

Построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению перпендикулярных прямой и плоскости (Рис.60)

1. Ω ⊃ n; n ⊥ Σ (f⋂h) ⇒ n₁⊥h₁ h₂⊥f₂

2. Σ ⊥ n (n₁⊥h₁ n₂⊥f₂)

3. Ω⊥Σ

Рис. 60

На Рис. 61 показано, как через прямую l провести плоскость, перпендикулярную плоскости Σ (a∥b)

1. K∈l⇒(K₁∈l₁ K₂∈l₂

2. Σ (a∥b)⇔Σ(f⋂h)

3. (n₁ ⊥ h₁ n₂ ⊥ f₂)⇒n ⊥ Σ⇒Ω (n⋂l) ⊥ Σ(a∥b)

Рис. 61

24. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Так как при ортогональном проецировании прямой угол между прямыми общего положения искажается, то перпендикулярность прямых общего положения приходится сводить к перпендикулярности прямой и плоскости. При этом используют известное положение, что две прямые перпендикулярны в том случае и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

На Рис. 62 показано, как через прямую l провести плоскость, перпендикулярную плоскости Σ (a∥b).

1. Через точку А следует провести плоскость, перпендикулярную прямой

Σ∈А; Σ ⊥ l; Σ(f⋂h) ⇒h₁ ⊥ l₁ и f₂ ⊥ l₂)

2. Найти точку пересечения прямой l с построенной плоскостью Σ, для этого нужно:

а) заключить прямую l в плоскость l⊂Ω; Ω⊥П₂⇒Ω₂=l2

b) найти линию пересечения вспомогательных плоскостей с данной Σ⋂Ω=12

в) отметить точку пересечения прямой с линией пересечения

l ⋂12=М (l₁⋂1₁2₁=M₁; M₂=l2

Соединить точки А и М

Рис. 62

V. ПОВЕРХНОСТИ

26. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ, ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ

До сих пор мы рассматривали свойства и взаимное расположение геометрических образов, изображение которых на чертеже не представляло трудностей (изображение точки, прямой, плоскости- все сводилось к нахождению точек, принадлежащих данному геометрическому образу).

Для изображения кривых поверхностей этого принципа иногда не достаточно и приходится применять другие способы: поверхность задается аналитическим способом; поверхность задается каркасом; поверхность задается кинематическим способом.

В начертательной геометрии пользуются преимущественно кинематическим способом задания поверхности, где поверхность рассматривается, как непрерывное множество положений линий – называемой - образующей, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Этот закон обычно задается неподвижной линией, называемой направляющей.

Так как форм образующей и условий, которым подчинено ее движение, бесчисленное множество, то и поверхностей может быть неограниченно много.

Таким образом, вид кинематической поверхности будет зависеть от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве.

Примем одну из линий «q» за направляющую поверхности и будем перемещать по ней по определенному закону другую линию «l» - образующую, тогда мы получим некоторое семейство образующих поверхности (Рис. 1)

Рис. 1

Возьмем теперь за направляющую прямую «l» и будем по ней перемещать образующую «q», тогда появится на поверхности второе семейство линий. Каждая образующая одного семейства пересечет все образующие второго семейства q⋂(l₁,l₂,l₃…l_n) l⋂(q₁,q₂,q₃…q_n). Поверхность считается заданной, если относительно любой точки М пространства одновременно решается вопрос о принадлежности ее к данной поверхности.

Поверхность легко строить, если известен ее определитель. Определителем поверхности называется совокупность условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности.

Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической и алгебраической.

В геометрическую часть определителя входят постоянные геометрические фигуры и отношение между ними. В алгебраическую часть – закон образования поверхности.

Одна и та же поверхность может быть образована различными способами. Например, в первом случае поверхность конуса может быть получена вращением некоторой образующей l вокруг оси i; но эта же поверхность может быть образована при движении окружности переменного радиуса, центр которой перемещается по заданной прямой (оси i), а плоскость окружности все время остается перпендикулярной оси (Рис. 2).

Рис. 2

На Рис. 3 показано задание на эпюре конической поверхности Φ (i,l) для первого варианта и Φ(S, m) (l₁,l₂,l₃ …l_n) - для второго варианта. На эпюре поверхность задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают область ее проекций.

Рис. 3

27. ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ

Задать точку на поверхности можно с помощью определителя поверхности (прямой или окружности). Точка А принадлежит главному меридиану, точка В – экватору сферы (Рис. 4), эти точки находятся без дополнительных построений. Точки М, К (Рис. 2) и С, D (Рис. 4) - произвольные и их находят с помощью определителя.

Рис. 4

28. СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЯМИ

В общем случае плоскость пересекает поверхность по некоторой плоской кривой, которую можно рассматривать, как множество точек, одновременно принадлежащих как плоскости, так и поверхности (Рис.5). Основным способом нахождения точек линии пересечения поверхности плоскостью является способ вспомогательных плоскостей посредников.

Плоскость посредник выбирается таким образом, чтобы в пересечении с заданными фигурами получались графические простые линии-прямые или окружности.

Рис. 5

Среди множества точек, принадлежащих линии пересечения имеются точки, которые обладают особыми свойствами, так называемые характерные или опорные точки. К ним относятся:

1. Экстремальные точки – это высшая и низшая точки сечения, самая ближняя и самая дальняя, самая левая и самая правая (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к П₂);

2. Точки – границы видимости – это точки, расположенные на очерковых линиях поверхности. Они разграничивают линию пересечения на видимую и невидимую части.

3. Все остальные точки относятся к произвольным или случайным. Если все случайные точки могут быть найдены общим приемом, то для нахождения опорных точек приходится каждый раз искать свой особый прием построения.

29. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические поверхности, а также цилиндрические и сферические, относятся к поверхностям второго порядка. При сечении этих поверхностей плоскостями получаются кривые второго порядка.

Кривые, получающиеся в сечении прямого кругового конуса, называются коническими сечениями.

В зависимости от расположения секущей плоскости по отношению к поверхности конуса могут образовываться конические сечения трех видов: эллипс, парабола, гипербола. Все кривые обладают директориальными и фокальными свойствами.

В зависимости от соотношения величин углов «α» и «φ» будем иметь (Рис. 6):

Рис. 6

1. ∠α > ∠φ. Кривая не имеет собственных точек (эллипс, плоскость Ω);

2. ∠α = ∠φ. Кривая имеет одну несобственную точку (парабола, плоскость Σ)

3. ∠α < ∠φ. Кривая имеет две несобственные точки (гипербола, плоскость Γ)

Частные случаи сечения: окружность - когда секущая плоскость θ располагается перпендикулярно оси вращения, образующие – когда секущая плоскость Ψ проходит через вершину конуса.

Эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F́F ́́ ́называемых фокусами, есть величина постоянная:

r′+ r′′=2a (Рис. 7).

Рис. 7

На Рис. 8 построено сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью Σ.

Секущая плоскость пересекает все образующие конуса, в сечении эллипс, у которого большая ось АВ определяется проекцией А₂В₂ (А₂О₂=О₂В₂, О - центр эллипса. Для нахождения малой оси, проводим через точку О₂ горизонтальную плоскость Ω, которая пересечет конус по окружности R_Ω, а плоскость Σ по прямой CD, перпендикулярной П_2. В пересечении окружности с прямой мы получим точки, определяющие величину малой оси эллипса-C₁D₁. Промежуточные точки (например, E, H) находят аналогично нахождению точек C, D.

Рядом с фронтальной проекцией конуса показано построение натуральной величины сечения по его осям ∣АВ∣=∣А₂В₂∣ и ∣CD∣=∣C₁D₁∣. На осях, как на диаметрах, строим окружности. Эти окружности делим радиусом на 12 или 16 частей. Из точек К пересечения радиуса с большой окружностью проводим прямые, параллельные CD, а из точек L пересечения с малой окружностью – прямые, параллельные АВ. Полученные точки М соединяем по лекалу. Кривая должна пройти через точки А₁С₁В и D.

Рис. 8

Парабола – это множество точек, расстояние от которых до некоторой фиксированной точки F, называется фокусом, и до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой, равны: ∣KM∣=∣FM∣ (Рис. 9).

Точки М параболы можно построить засечками из F на прямой, параллельной d, радиусами, равными расстоянию между директрисой и параллельной ей прямой FM=KM.

Рис. 9

На Рис. 10 построено сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью Σ.

Плоскость параллельна образующей конуса, в сечении – парабола. Горизонтальная проекция параболы построена по вершине А1 и промежуточным точкам В1В1′ и т.д. Фронтальная проекция параболы – совпадает со следом Σ2. Рядом с фронтальной проекцией конуса показано построение натуральной величины сечения с помощью «пучка прямых». Ось ∣AD∣=∣A2B2∣, а отрезки ∣BD∣=∣B1D1∣.

Отрезки AL и BL разбиваем на одинаковое число частей. Из этих точек деления прямых AL, проводим прямые, параллельные AD. Из точек деления прямых BL проводим «пучок прямых» в точку А. Пересечение одноименных прямых дает точки параболы, которые соединяют по лекалу.

Рис. 10

[A1]

[A2]

Дата добавления: 2014-01-07