Способ перемены плоскостей проекций

Общие положения

Тема 6. Преобразование комплексного чертежа

1. Общие положения.

2. Способ перемены плоскостей проекций.

3. Основные задачи, решаемые одной заменой плоскости проекций.

4. Основные задачи, решаемые двумя заменами плоскостей проекций.

Литература: § 32…38 [1]

Решение многих геометрических задач на комплексных чертежах этих объектов часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искаженном виде. Поэтому для более простого решения задач прибегают к преобразованию комплексного чертежа, которое переводит интересующие нас прямые и плоские фигуры из общего положения относительно плоскостей проекций в частное (прямые и плоскости проецирующие и уровня). Такое преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено следующими двумя основными способами:

- способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют неизменным положение оригинала в пространстве, а заменяют одну или обе плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые и плоскости оказались бы в частном положении по отношению к новой системе плоскостей проекций;

- способом вращения, при котором оставляют неизменной систему плоскостей проекций, а изменяют положение оригинала в пространстве путем его вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались бы в частном положении по отношению к данной системе плоскостей проекций.

Кроме этих основных способов преобразования комплексного чертежа, иногда при решении позиционных задач целесообразно пользоваться способом дополнительного проецирования. В этом способе ортогональное проецирование заменяют косоугольным или центральным проецированием либо на одну из старых плоскостей проекций, либо на какую-нибудь новую плоскость проекций.

Рассмотрим первый из названных способов более подробно.

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций П₁, П₂ или П₃ заменяется новой плос­костью проекций П₄, подходящим образом расположенной относительно оригинала, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций. Так если заменяется плоскость проекций П₂, то новая плос­кость П₄ должна быть перпендикулярна к незаменяемой плоскости П₁ (рис.6.1). Если же заменяется плоскость П₁, то плоскость П₄ должна быть перпендикулярна к плоскости П₂ (рис.6.2).

Рис.6.1 Рис.6.2

В результате замены одной из основных плоскостей проекций на плоскость проекций П₄ мы получаем вместо старой системы плоскостей проекций (П₁, П₂) новую систему (П₂, П₄), если заменялась плоскость П₁, или систему (П₁, П₄), если заменялась плоскость П₂.

B каждой из этих систем можно произвести замену оставшейся незаменённой плоскости. Так в системе (П₁, П₄) можно заменить плоскость П₁ на новую плоскость П₅, перпендикулярную незаменяемой плоскости П₄, а в системе (П₂, П₄) можно заменить плоскость П₂ на плоскость П₅, перпендикулярную П₄, после чего получим новые системы (П₄, П₅).

Последовательное введение новых плоскостей проекций П₄, П₅, П₆, … позволяет получить такую систему плоскостей проекций, относительно которой данный оригинал займет удобное для решения той или иной задачи положение. При решении большинства задач приходится вводить только одну или две новые плоскости проекций.

Пусть дана точка А своими проекциями А₁ и А₂ в системе плоскостей проекций (П₁, П₂). Заменим плоскость П₂ на новую плоскость П₄, перпендикулярную к плоскости П₁, и спроецируем данную точку А на эту плоскость, обозначив полученную проекцию через А₄ (рис.6.3).

Рис.6.3

Нетрудно видеть, что если точка А определяется своими проекциями А₁ и А₂ в старой системе плоскостей проекций (П₁, П₂), то она также определяется своими проекциями А₁ и А₄ в новой системе плоскостей проекций (П₁, П₄).

Установим способ построения по комплексному чертежу точки, выполненному в старой системе, комплексного чертежа, выполненного в новой системе. Для этого выясним, какие свойства проекций остаются неизменными при переходе от старой системы плоскостей проекций к новой. Очевидно, что это те свойства, которые связаны лишь с незаменяемой плоскостью проекций П₁. При этой замене остаются неизменными:

1) горизонтальная проекция А₁ точки А;

2) высота h точки А относительно горизонтальной плоскости (в данном случае относительно плоскости П₁).

Произведем переход от системы (П₁, П₂) к системе (П₁, П₄) на комплексном чертеже. На рис.6.3 имеем плоскости проекций П₁, П₂, ось x₁₂, проекции точки А₁, А₂ и точку А₁₂ (осевая проекция А_Х).

Проведём новую ось проекций x₁₄, которая определяет положение горизонтально-проецирующей плоскости П₄, и строим новую осевую проекцию - точку А₁₄, опуская перпендикуляр из точки А₁ на ось x₁₄. На перпендикуляре откладываем отрезок А₁₄А₄ = А₁₂А₂ = h_A. Полученная таким образом точка А₄ является новой фронтальной проекцией точки А на плоскость П₄.

Мы заменили фронтальную плоскость проекций П₂ новой плоскостью П₄, соблюдая требование, чтобы плоскость П₄ была перпендикулярна к П₁, т.е. была горизонтально-проецирующей плоскостью. Аналогично, можно заменить горизонтальную плоскость проекций П ₁ новой плоскостью П₄, которая должна быть фронтально-проеци­рующей (рис.6.4). При этой замене остаются неизменными:

1) фронтальная проекция А₂ точки А;

2) глубина f_A точки А относительно фронтальной плоскости (в данном случае относительно плоскости П₂), т.е. АА₂ = А₁₂А₁ = А₂₄А₄ = f_А.

Рис.6.4

На комплексном чертеже проведём новую ось проекций x₂₄, которая определяет положение горизонтально-проецирующей плоскости П₄, и строим новую осевую проекцию - точку А₂₄, опуская перпендикуляр из точки А₂ на ось x₂₄. На перпендикуляре откладываем отрезок А₂₄А₄ = А₁₂А₁ = f_A. Полученная таким образом точка А₄ является новой горизонтальной проекцией точки А на плоскость П₄.

Таким образом, построение новой проекции точки вместо заменяемой связано с двумя её старыми проекциями - незаменяемой и заменяемой. Через незаменяемую проекцию точки проводят новую линию связи, перпендикулярную к новой оси, и на ней от новой оси откладывается расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции точки до старой оси.

Это правило применяется и при последовательном выполнении двух и более замен. Так, если для точки А произведена замена плоскости П₂ на плоскость П₄, перпендикулярную к плоскости П₁, и после этого нужно заменить и плоскость П₁, на плоскость П₅, перпендикулярную к плоскости П₄, то при выполнении последней замены нужно считать поле П₁ заменяемым, поле П₄ - незаменяемым и поле П₅ - новым. Поле П₂ не участвует в этой замене. Линию связи полей П₁ и П₄ надо считать старой линией связи, а линию связи полей П₄ и П₅ – новой (рис.6.5).

Рис.6.5

Рис.6.6

На рис.6.6 аналогично проведена вторая замена плоскости П₂ на новую плоскость П₅ и построена новая фронтальная проекция А₅ точки А.

Дата добавления: 2014-01-07