Понятие о линейчатой поверхности

Тема 11. Линейчатые поверхности

Поверхности вращения, образованные кривыми второго порядка

Вращением кривых второго порядка вокруг их осей можно получить:

· эллипсоид вращения – при вращении эллипса вокруг большой или малой оси;

· параболоид вращения - при вращении параболы;

· однополостный гиперболоид вращения - при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта же поверхность образуется также вращением прямой);

· двуполостный гиперболоид вращения - при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.

1. Понятие о линейчатой поверхности.

2. Линейчатые поверхности с 2-мя направляющими.

3. Линейчатые поверхности с 1-ой направляющей.

4. Винтовые линейчатые поверхности.

Литература: § 50,52 [1]

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии. Выделим на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии a, b и c и примем их за направляющие. Покажем, что движение прямолинейной образующей l определится единственным образом (рис.11.1).

Рис.11.1

Возьмём на направляющей a некоторую точку K и проведём через неё пучок прямых, пересекающих направляющую с. Эти прямые образуют коническую поверхность с вершиной в точке K. Направляющая b будет пересекаться с конической поверхностью в некоторой точке N. Построенная точка N и точка K определят прямую l, пересекающую направляющую c в точке M. Таким образом, каждой точке К направляющей a будет соответствовать единственная образующая. Перемещая точку К вдоль направляющей a, можно получить другие положения образующей прямой, т.е. построить каркас линейчатой поверхности.

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с тремя направляющими подразделяются на:

косой цилиндр с тремя направляющими – все три направляющие кривые линии;

конусоид – две направляющие кривые линии, а третья – прямая;

однополостный гиперболоид – все направляющие прямые линии.

Для построения точки на линейчатой поверхности необходимо воспользоваться вспомогательной линией, в качестве которой используют прямолинейную образующую или произвольную кривую линию.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трёх направляющих существуют и другие способы, которые путём наложения дополнительных ограничений определяют закон движения прямолинейной образующей.

Дата добавления: 2014-01-07