Декартова система координат

Система координат

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение 1.11. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс, 2-я ось – ось ординат, 3-я ось – ось аппликат. Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то

= (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Определение 1.12. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение 1.13. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример 1.1. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

;

D₂ =

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Дата добавления: 2014-01-07