Некоторые замечательные пределы

1. , где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n, Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены.

;

.

Итого: .

2. Первый замечательный предел .

3. Второй замечательный предел .

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов. Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример 2.1. Найти предел.

.

Пример 2.2. Найти предел.

Пример 2.3. Найти предел.

Пример 2.4. Найти предел.

Пример 2.5. Найти предел.

Пример 2.6. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда, .

Пример 2.7. Найти предел .

Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

=.

Пример 2.8. Найти предел.

Пример 2.9. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2); x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3).

Тогда, .

Пример 2.10. Найти предел.

Пример 2.11.

- не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.

Для самостоятельного решения:

Дата добавления: 2014-01-07