Понятие равновесия и устойчивости

Логарифмические частотные характеристики

При исследовании систем управления частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах по таким причинам: 1) в большинстве случаев АЧХ звеньев в логарифмических координатах можно представить отрезками прямых линий; 2) АЧХ цепочки звеньев графически суммируются.

АЧХ в логарифмических координатах строится в виде зависимости lg A от lg ω, называемой логарифмической амплитудно–частотной характеристикой (ЛАЧХ), а фазовая – в виде зависимости φ от lg ω, наз. логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

При этом за единицу масштаба частоты принимается декада – частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз.

При построении ЛАЧХ по оси ординат откладывают выходную величину L(ω), измеряемую в децибелах (дБ). Бел – единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала. Один бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.

Поскольку мощность сигнала пропорциональна А², то ее усиление в белах в логарифмических координатах равно lg A² = 2 lg A (в децибелах – 20 lg A.). Таким образом – L(ω) = 20 lg A(ω).

Соотношение A и L приведено в следующей таблице

А	0,01	0,1	0,5	1,0	1,12	1,41	2,0	3,6
L, дБ	– 40	– 20	– 6

При построении ЛФЧХ фаза откладывается по оси ординат в радианах или угловых градусах в обычном масштабе, т.к. фазовый сдвиг цепочки звеньев равен сумме фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях. При совместном анализе ЛАЧХ и ЛФЧХ на оси абсцисс применяют логарифмический масштаб частоты в декадах или в октавах (одна октава соответствует изменению частоты в два раза).

Отметим, что при использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая ω = 0, находится в минус ∞, а нулю на оси абсцисс соответствует точка ω = 1 рад/с.

8 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Одним из основных условий работоспособности САУ является ее устойчивость, т.е. способность системы возвращаться в исходное состояние после снятия или прекращения изменения воздействия, выведшего ее из этого состояния. Понятие устойчивости неразрывно связано с понятием равновесия.

Равновесным состоянием тела (или системы) называется такое состояние, в котором сумма всех внеш­них воздействий равна нулю. Равновесное состояние может быть устойчивым, неус­тойчивым и нейтральным.

Классической иллюстрацией этого положения (рис. 8.1) яв­ляется поведение шарика, помещенного: на дно лунки (а), на вершину холма (б) и на горизонтальную плоскость (в). В каждом из этих случаев сумма внешних сил, дей­ствующих на шарик, равна нулю и, следовательно, ша­рик находится в состоянии равновесия.

Однако, если в первом случае после небольшого отклонения шарик через некоторое время вновь возвращается в исходное положение равновесия, то во втором он будет продолжать отклоняться от него, а в

Рис. 8.1. Механическая интерпретация понятия устойчивости

третьем – просто перейдет в новое положение равновесия, зависящее от величины отклонения.

Кроме того, такая система может быть устойчива при воздействиях, не выходящих за определенные пределы – «в малом», и неустойчива при больших воздействиях – «в целом» (см. рис. 8.1, г).

Рассмотрим с этой точки зрения системы автоматиче­ского управления.

Каждая САУ характеризуется неким равновесным состоянием, которое нарушается при внешних воздейст­виях. Это могут быть сигналы управления, помехи и т.п. Под устойчивостью САУ подразумевается свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Обозначим у(t₀) – значение выходной величины в исходном равновесном состоянии системы (в момент времени t = t₀), y(t) – текущее значение выходной величины после нанесения возмущения f(t).

САУ будет являться устойчивой, если при t®¥ величина y(t) стремится к своему начальному значению y(t₀) в случае f(t) = сonst или после снятия воздействия f(t)=0.

Если при этом амплитуда отклонения выходной величины объекта управления не превышает допустимых по технологии значений, а наличие ее колебаний не ухудшает работу агрегата – такую систему можно эксплуатировать.

Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончании или стабилизации воздействия, а непрерывно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания.

Заметим, что нейтральные САУ, в которых по окончании воздействия устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального и зависящее от произведенного воздействия, являются неустойчивыми.

Реальные системы обычно работают в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, при этом установившиеся режимы вообще отсутствуют. В таких случаях применяют обобщенное определение: «Система динамически устойчива, если ее выходная величина остается в пределах допустимых отклонений в условиях действия ограниченных возмущений».

В связи с этим можно сказать, что системы автоматического управления устойчивы, если происходящие в них переходные процессы сходятся. Выясним, какими особенностями математического описания систем определяется эта сходимость.

Дата добавления: 2014-01-07