КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема 4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик) К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения: . Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. . Доказательство. Применив формулу Коши, получим: , где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0: . Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать: . Теорема доказана. Пример 4.1. Найти предел .
Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex; ; Пример 4.2. Найти предел . ; ; . Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. Пример 4.3. Найти предел . ; ; ; ; . ; ; Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.). Пример 4.4. Найти предел . ; ; - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз. ; ; - применяем правило Лопиталя еще раз. ; ; . Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x). Пример 4.5. Найти предел .
Здесь y = xx, lny = xlnx. Тогда: . Следовательно, . Пример 4.6. Найти предел . ; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз. ; ;
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 310; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |