Пусть дана квадратная матрица второго порядка:. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

Элементарные методы расчета определителей.

Пример 1.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

.

Определитель третьего порядка вычисляется по следующей формуле:

Другими словами, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками: со знаком «плюс» три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» – три члена, расположенных аналогичным образом относительно побочной диагонали. Это правило называется правилом треугольников. Графическое представление см. рис.1.

Рис.1.

Для вычисления определителей порядка nсуществует метод разложения по строке или столбцу. Другими словами, любой определитель n -го порядка можно представить в виде линейной функции n определителей (n-1) – го порядка. В качестве коэффициентов функции берутся элементы строки (или столбца) основного определителя. Каждое произведение умножается на +1 или –1. Чтобы представить этот метод наиболее полно введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1) – го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, (той строки и того столбца на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента обозначается . Здесь первый индекс обозначает номер строки, второй – номер столбца, которые вычеркиваются. Например, в определителе третьего порядка минором элемента является определитель второго порядка . Такие миноры называются минорами (n-1) -го порядка.

Дата добавления: 2014-01-07