Математическая модель объекта управления [1, 8]

Математической моделью динамической системы принято называть совокупность аналитических выражений и алгоритмов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т. е. ее движение. В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов - линейные и нелинейные, временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является время (непрерывное или дискретное). Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала.

Аналитические модели вход-выход (ВВ) - это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы, которое применяется как для отдельных блоков, так и всей системы управления в целом. Для обозначения входных и выходных сигналов воспользуемся обозначениями, характерными для объекта управления, где входным сигналом является управляющее воздействие u(t), а выходным регулируемая переменная y(t). В этом разделе рассматриваются непрерывные временные модели, описывающие связи входных и выходных переменных динамической системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующего порядка.

Система линейных уравнений объекта. В общем случае модель одноканального объекта управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением (системой уравнений), связывающим входной сигнал управления u(t) и выходной сигнал состояния объекта y(t):

F(y', y", …, y⁽ⁿ⁾, u', u", …, u^(m)) = 0. (3.2.1)

Уравнение описывает динамическое состояние ОУ на некотором временном интервале t≥t_o, и связывает входные сигналы u(t) и их производные u⁽ⁿ⁾(t) с выходными сигналами y(t) и их производными y⁽ⁿ⁾(t). Значения у(t_o) = у_о, у'(t_o) = у'_о,..., y⁽ⁿ⁾(t_o) = у⁽ⁿ⁾_о называются начальными значениями (условиями), а число г = n-m ≥ 1- относительной степенью модели.

Классом дифференциальных уравнений, удобным для проведения исследований, являются линейные дифференциальные уравнения. Переход к линейным дифференциальным уравнениям выполняется операцией линеаризации, при которой переменные уравнения (3.2.1) заменяются новыми переменными – отклонениями от некоторого номинального режима (y=y-y_н, u= u-u_н), начало координат переносится в точку номинального режима, а функция F раскладывается в ряд Тейлора в окрестностях этой точки по частным производным. В результате линеаризации получаем следующую систему линейных уравнений в отклонениях:

A₀(t)y⁽ⁿ⁾ + A₁(t)y^(n-1) +…+ A_n(t)y = B₀(t)u^(m) + В₁(t)y^(m-1) +…+ B_m(t)u. (3.2.2)

Порядок системы уравнений равен n по порядку производной y⁽ⁿ⁾(t), n ≥ m, так как при n < m системы технически нереализуемы. Так как все частные производные представляют собой либо постоянные матрицы, либо матрицы, зависящие только от времени, то полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (A_j(t) = a_j = const, B_j(t) = b_j = const), либо система с переменными коэффициентами, в зависимости от номинальной траектории.

В случае постоянных коэффициентов система называется стационарной. Как правило, входные и выходные величины объекта - скалярные функции, при этом уравнение (3.2.2) принимает вид:

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny = b₀u^(m) + b₁y^(m-1) +…+ b_mu. (3.2.3)

где a_j, b_j – постоянные коэффициенты (параметры) модели, a₀ > 0, b₀ > 0, n - порядок модели, 0 ≤ m < n. Решение уравнений таких стационарных объектов относительно y(t) является главным объектом исследований в классической теории автоматического управления.

Система, для которой u(t)≡ 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением вида

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny = 0. (3.2.3')

Передаточная функция системы. Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами - преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида (3.2.3), получаем:

L[a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny] = L[b₀u^(m) + b₁y^(m-1) +…+ b_mu].

(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n)Y(p) = (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m)U(p). (3.2.4)

Y(p) = L[y(t)] = exp(-pt) y(t) dt,

U(p) = L[u(t)] = exp(-pt) u(t) dt.

Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного сигнала Y(p) к входному сигналу U(p) при нулевых начальных условиях не зависит от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W(p).

Y(p) = U(p) (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m) /(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n),

W(p) = (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m) /(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n), (3.2.5)

Y(p) = W(p) U(p).

Передаточная функция W(p) зависит только от самих дифференциальных уравнений и обладает свойством линейности:

Если Y(p) = Y₁(p) + Y₂(p), то U(p) = W(p)Y₁(p) + W(p)Y₂(p) = U₁(p)+U₂(p).

Если Y(p) = сY(p), то U(p) = W(p) Y(p) = с W(p) Y(p).

В общем случае замкнутая система регулирования с обратной связью рассматривается в структурной форме, приведенной на рис. 3.2.1, где используются следующие обозначения сигналов:

Y(p) = W(p)e(p); W(p) = W₁(p)W₂(p);

Y_ос(p) = W_ос(p)Y(p); e(p)=U(p)-Y_oc(p).

  Рис. 3.2.1.

Выражение выходного сигнала состояния системы через входной сигнал управления:

Y(p)=W(p)(U(p)-W_ос(p)Y(p);

Y(p)(1± W(p)W_ос(p))=W(p)U(p).

Отсюда главная передаточная функция замкнутой системы:

W_зс(p) = Y(p)/U(p) = W(p)/[1 ± W(p) W_oc(p)].

Знак плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f(t), который суммируется с правой частью выражения (3.2.3):

Y(p)=W_зс(p)U(p) + W_f(p)f(p),

где W_f(p) – передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.

W_f(p) = Y(p)/f(p) = W₂(p)/[1+W_oc(p)W(p)].

Передаточная функция по ошибке:

W_e(p) = e(p)/U(p) = 1/[1 + W(p) W_oc(p)].

Передаточная функция по ошибке - основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:

e(p)=W_e(p)U(p) + W_ef(p)f(p),

где W_ef(p) - передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):

W_ef(p) = e(p)/f(p) = -W₂(p)W_oc(p)/[1 + W(p) W_oc(p)].

Передаточная функция по обратной связи:

W_Yoc(p) = Y_oc(p)/U(p) = W(p) W_oc(p)/[1 + W(p) W_oc(p)].

Типовые звенья САУ. Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции (3.2.5) можно разложить на простейшие множители по их корням:

W(p) = N(p)/P(p) = m [(p-p₁^ч)…(p-p_m^ч)] / [(p-p₁^з)…(p-p_n^з)], (3.2.6)

где μ = b₀ /a₀ – константа, p_i^ч – множество корней числителя N(p)=0, p_i^з – множество корней знаменателя P(p)=0. Корни числителя передаточной функции называют нулями, корни знаменателя – полюсами. Комплексно сопряженные корни объединяются в квадратурные полиномы с вещественными коэффициентами: (p-α+jβ)(p-α-jβ) = p²-2αp+β²+α².

После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого и второго порядка с вещественными числовыми коэффициентами, каждую из которых можно рассматривать, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов. Если вынести из всех скобок свободные члены и объединить их произведение в общий множитель К, то получим уравнение:

W(p) = K [W₁(p)…W_z(p)], (3.2.7)

где z=n+m, если все корни вещественные, z < n+m, если есть комплексные корни. Коэффициент К принято называть коэффициентом усиления системы. Заметим, что W(0) = К = b_m/a_n, т.е. его числовое значение равно коэффициенту усиления на нулевой частоте ("постоянном токе").

Классификация звеньев производится по виду их передаточных функций, независимо от исполнения (механические, гидравлические, электрические и пр.). Передаточные функции типовых звеньев, из которых синтезируются системы, обычно имеют числитель или знаменатель, равный единице. Ниже приводятся выражения передаточных функций основных типовых звеньев систем:

1. К - Усилительное звено.

2. p - Дифференцирующее звено.

3. 1/p - Интегрирующее звено (интегратор).

4. K/(Tp+1) - Инерционное (апериодическое) звено.

5. K/(T²p+2dTp+1) - Колебательное звено.

6. K(Tp+1) - Форсирующее звено.

7. K(T²p+2dTp+1) - Форсирующее звено 2-го порядка.

Здесь Т – определенный временной коэффициент (постоянная времени). Звенья 2, 6 и 7 не реализуются в строгом теоретическом смысле, существуют только их приближения.

Типовые входные воздействия. Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий u_i(t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y(t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих.

  Рис. 3.2.1.

Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t≥0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u₁(t) на рис. 3.2.1). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени Dt(сигнал u(t) на рис. 3.2.1).

Преобразование Лапласа для единичной ступеньки:

1(p) = exp(-pt) dt = 1/p. (3.2.8)

Линейно нарастающее воздействие (t(t)=t при t≥0, t(t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки:

t(t) = 1(t) dt, 1(t) = d t(t) /dt.

Преобразование Лапласа:

t(p) = t exp(-pt) dt = 1/p². (3.2.9)

Экспоненциальная функция exp(at). Преобразование Лапласа:

L[exp(at)] = exp(at) exp(-pt) dt = 1/(p-a). (3.2.10)

Выражение справедливо и при любом комплексном α.

Гармонические воздействия sin ωt и соs ωt.

На основе формулы Эйлера exp(jωt) = cos ωt + j sin ωt соответственно имеем cos ωt = Re exp(jωt), sin wt = Im exp(jwt). Преобразования Лапласа:

L[sin ωt] = L[Im e^jωt] = Im L[e^jωt] = Im (1/(p-jω)) = Im((p+jω)/(p²+ω²)) =

= Im(p/(p²+ω²)+jω/(p²+ω²)) = ω/(p²+ω²).

L[cos ωt] = Re L(e^jωt) = Re (1/(p-jω)) = Re((p+jω)/(p²+ω²)) = p/(p²+ω²).

Дельта - функция δ(t) - математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение δ(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

d(t-t₀) x(t) dt = x(t₀).

Отсюда, при x(t)=1:

d(t) dt = 1, d(t) exp(-pt) dt = 1, L[d(t)] = 1. (3.2.11)

Единичный импульс физически представляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта - функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:

d(t) = d1(t) /dt = d² t(t) /dt².

Дата добавления: 2014-01-07