Простейшие функции

Простейшими называют функции от двух переменных. В табл.1.3 приведены все функции, существенно зависящие от двух переменных. Для восьми из них введены названия и обозначения в табл. 1.4.

Таблица 1.3.

x y
0 0
0 1
1 0
1 1

Задание. Объясните, почему остальные 6 функций не вошли в таблицу.

Таблица 1.4

Номер	Обозначение.	Название
	x&y	конъюнкция
	xÅy	сложение по модулю 2
	xÚy	дизъюнкция
	x­y	стрелка Пирса (функция Вебба)
	x»y	эквивалентность
	y®x	импликация из y в x
	x®y	импликация из x в y
	x|y	штрих Шеффера

Функция конъюнкция ещё называется функция И или логическое умножение и обозначается х&у=хÙу= х×у= ху

Функцию дизъюнкции ещё называют функцией ИЛИ (логическим сложением).

С помощью простейших можно строить более сложные функции, заменяя переменные функциями. В результате функции сопоставится формула, задающая последовательность выполнения операций. Для определения порядка вычисления функций можно использовать скобки. Например, функция, приведенная в табл. 1.1, может быть описана формулой

f = (x 1Å(x 2Å x 3)).

Свойства простейших функций.

Между операциями над множествами, описанными и некоторыми простейшими функциями можно провести следующую аналогию. Для множества А сопоставим каждому элементу универсального множества функцию а =1, если а Î А, и а = 0, если а Ï А. Точно также переменную можно связать с любым множеством. Тогда имеет место следующие условия. Для элементов из ` А функция ` а = 1, для элементов А Ç В – а×b = 1, для элементов А È В а Ú b = 1. Значит, свойства операций, рассмотренных в главе 1, будут верны и для простейших функций.

Ниже перечислены свойства простейших функций, в истинности которых просто убедиться элементарной проверкой с помощью перебора.

· Коммутативност ь функций конъюнкции, дизъюнкции, сложения по модулю 2: х Ú у = у Ú х.

· Ассоциативность этих же функций: (х Ú у) Ú z = х Ú(у Ú z)= х Ú у Ú z.

· Дистрибуция: х Ú(у×z)=(х Ú у)×(х Ú z), х × (у Ú z)= (ху)Ú(хz), х (у Å z)=(ху)Å(хz).

· Правило де Моргана: (х Ú у)= ` х ×` у, (х×у)= ` х Ú ` у.

· Свойства констант: х× 0=0, х× 1= х, х Ú 0 = х, х Ú 1 = 1,х Å 1 = `х, х Å х =0, х Ú ` х =1,х ×` х = 0.

Используя эти свойства, можно преобразовывать формулы, удаляя лишние элементы, раскрывая скобки, вынося элементы за знаки скобок и т.п.

Дата добавления: 2014-01-07