Невизначеність для раціональних функцій

Спочатку нагадаємо деякі положення алгебри многочленів. Многочлен називається упорядкованим, якщо

Теорема (Безу). Остача від ділення многочлена на двочлен типу х – а дорівнює значенню многочлена при тобто

Наслідок. Якщо число а — корінь многочлена тобто то многочлен ділиться без остачі на двочлен х – а.

Приклад. Розкласти на множники Ос­кільки — корінь ділиться без остачі на х – 1. Виконуючи ділення многочленів, дістаємо:

Отже,

Розглянемо де — такі многочлени, що

За наслідком з теореми Безу чисельник і знаменник діляться без остачі на х – а, тобто чисельник і знаменник мають спільний множник х – а. Отже, дістаємо:

Степінь многочленів як у чисельнику, так і в знаменнику змен­шився на одиницю. Якщо після виконання нового граничного переходу знову буде невизначеність , то наведений алгоритм повторюють.

Зауважимо, що скорочення дробу на множник х – а під знаком границі можливе, бо за означенням границі функції змінна х як завгодно близька до числа а, але

Приклад. .

Отже, невизначеність при для раціональних функцій розкривається діленням многочленів у чисельнику і знаменнику на двочлен х – а.

Дата добавления: 2014-01-07