КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Практичне заняття
1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність (1) Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:
. Отже, якщо , то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа . Якщо , то за N беремо цілу частину виразу , тобто N = . А якщо , то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число. Зокрема, при , N = . Отже, при дістанемо 2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо: а) б) в) а) Оскільки то послідовність () обмежена. Неважко бачити, що для всіх , тобто () монотонно зростає. Отже, вона має границю. б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при , оскільки . А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при . Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною. в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності , оскільки , і обмеженої послідовності , тому що . Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0. 3. Обчислити границі: а) б) в) г) д) ; е) є) ж) а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність , тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1(задана послідовність є нескінченно малою. б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на (найвищий степінь n). Дістанемо Оскільки маємо , , , , то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на , а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо г) Аналогічно попередньому маємо Оскільки при , а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей. д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо. е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо є) Оскільки , то . Тоді ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки , то
Вправи для самоперевірки 1. Довести, що: а) б) в) 2. Обчислити і визначити номер N () такий, що при всіх , коли: а) б) Відповідь: а) ; б) 3. З’ясувати, чи має границю послідовність , якщо: а) ; б) ; в) Відповідь: а) так; б) так; в) ні. 4. Обчислити границі: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) Відповідь: 1) -2; 2) 0; 3) ; 4) 5) ; 6) 6; 7) 1; 8) 2; 9) ; 10) 3; 11) ; 12) 0; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) . 5. Обчислити суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1, Відповідь: S=3.
1. Знайти Використовуючи теорему про границю добутку маємо: Оскільки аналогічно Відповідь: - 9.
2. Знайти .
3. Знайти
Завдання для перевірки знань 1. Довести, що при послідовність 3, має границею число 2. 2. Довести, що при послідовність має границею число 1,5.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 291; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |