Док-во. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p (а не появляется с вероятностью q=1-p)

Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p (а не появляется с вероятностью q=1-p).

P(A)=p; P*(A)=m/n – относительная частота (частота)

Теорема: При неограниченном увеличении числа испытаний n частота события A сходится по вероятности к p.

или

Обозначим X ₁ – число появлений события A в 1^ом испытании

X ₂ – число появлений события A в 2^ом испытании

..........................................................................................

X_n – число появлений события A в n ^ом испытании

Законы распределения одинаковы, а именно

Xi
p	q	p

X_i=0, – событие А не появилось в i ^ом испытании

X_i=1, – событие А появилось в i ^ом испытании
i =1, 2,..., n

M(X_i)=p; D(X_i)=0×q+1×p-p²=p-p²=pq

X ₁+ X ₂ +...+ X_n=m – столько раз появилось A в n испытаниях.

– относительная частота события A.

Применим частный случай теоремы Чебышева

1) – попарно независимые (вып-ся)

2) имеют одно и то же математическое ожидание, M(X_i)=p,

3) дисперсии равномерно ограничены

Действительно: D (X_i) = pq = p – p ², 0< p <1, i =1, 2,..., n

D’ (X_i)=1 – 2 p, D’ (X_i)=0 Þ p = ½

Единственный экстремум, max Þ при p = ½ наибольшее значение

D_{наиб .}= ½ × ½= ¼, D(X_i) £ ¼ – равномерно ограничены. Тогда, по теореме Чебышева

или , что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

Дата добавления: 2014-01-07