Основные теоремы о пределах. Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке =

Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке = , необходимо и достаточно, чтобы разность –была бесконечно малой в этой точке.

Доказательство. Обозначим разность –через , т.е. –= . Если – предел функции , то |–| = || < " Î O (,). Но это означает, что является бесконечно малой в точке = . Необходимость доказана. Если – бесконечно малая, то

|| = |–| < " Î O (,). Последняя запись означает, что является пределом функции в точке = . Достаточность доказана.

Теорема 1. Пусть функции и определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = . Если существуют пределы функций и в точке = , то существуют и следующие пределы:

1) (+) = + ,

2) (×) = ×,

3) = , если ¹ 0.

Доказательство. Пусть = , = . Тогда согласно лемме

= + , = + . (1)

Учитывая (1), запишем = = +

+ = + , или

= + (2),

где = – бесконечно малая (согласно теоремам 1–3 предыдущего параграфа).

Равенство (2) согласно лемме означает, что

= или = . Таким образом, третье утверждение теоремы доказано. Первое и второе утверждения доказываются аналогично. Доказать их самостоятельно.

Из второго утверждения теоремы вытекает следующее следствие: если = C = const, то (C) =

= C, т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

Теорема 1 значительно облегчает нахождение пределов.

Пример. Найти .

Решение. Используя теорему 1, запишем

= = =

= = 1.

Теорема 2 (о двух милиционерах). Пусть функции , , определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = .

Если £ £ " Î O (,) и =

= = , то = .

Доказательство. Согласно лемме = + , = =+ , где и – бесконечно малые в точке

= , т.е. || < " Î O (,) и || < " Î O (,). Данное в условии теоремы неравенство

+ £ £ + (3)

будет, очевидно, выполняться в наименьшей из трех окрестностей точки = , т.е. " Î O (,), = min(,,).

Перепишем неравенство (3) так:

–< £ – £ < " Î O (,), или

|– | < " Î O (,).

Последнее неравенство означает, что = . Теорема доказана.

Теорема 3 (правило замены переменной). Если существует предел функции в точке и существует предел функции в точке , причем = , то = . (Без доказательства).

Дата добавления: 2014-01-07