Преобразование Лапласа, основные понятия

Пусть функция для всякого комплексного является кусочно непрерывной по действительной переменной

Определение 1. Сходящийсянесобственный интеграл зависящий от параметра p, называется равномерно сходящимся в области E, если

при (Сравнить с определением равномерной сходимости ряда, см. §4 гл. 5, ч.1).

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если а интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно в области E (без доказательства).

Теорема 2. Если функция аналитическая в области E, а несобственный интеграл сходится равномерно в области E, то функция I (p) является аналитической в области E, при этом (без доказательства).

Определение 2. Комплекснозначная функция называется оригиналом, если она обладает следующими свойствами:

кусочно-непрерывная функция;

3) функция имеет ограниченный рост, т.е. "

Очевидно, если то "

Нижняя грань всех таких при которых выполняется неравенство, называется показателем роста функции

Например, функция Хевисайда является оригиналом. Функции - оригиналы, а функции не являются оригиналами.

Определение 3. Функция называется изображением функции по Лапласу или преобразованием Лапласа. Пишут или L - оператор Лапласа.

Теорема 3. Если функция является оригиналом, то интеграл (1)

сходится для всех где показатель роста функции , и определяет аналитическую в полуплоскости функцию F(p).

Доказательство. Поскольку оригинал, то Оценим подынтегральную функцию интеграла (1).

(2)

где Зафиксируем некоторое тогда получим функцию такую, что причем сходится. Действительно, если По признаку Вейерштрасса интеграл (1) сходится равномерно. А так как подынтегральная функция является аналитической, то из теоремы 2 следует, что функция аналитическая в правой полуплоскости Теорема доказана.

Следствие. Если изображение некоторого оригинала, то при Действительно, из теоремы 3 следует

при

Следствие доказано.

Теорема 4. Если функция является оригиналом, а его изображение, то в любой точке непрерывности оригинала имеет место формула обращения

(3)

где В точках разрыва правая часть (3) равна полусумме пределов слева и справа, т.е. (без доказательства).

Формулу (3) называют обратным преобразованием Лапласа, а формулу (1) - прямым.

Найдем изображения некоторых оригиналов.

1. Пусть единичная функция Хевисайда. Согласно (1), имеем если Итак,

2. Пусть Согласно (1), имеем

если есть показатель роста данного оригинала. Итак,

Замечание. Поскольку все оригиналы равны нулю при то их следует записывать так: Однако, ради сокращения записи множитель обычно опускают, но его всегда подразумевают.

Дата добавления: 2014-01-07