Метод гармонічної лінеаризації

Метод гармонічної лінеаризації, або метод гармонічного балансу першочергово було розроблено для дослідження періодичних режимів. Однак з часом він став використовуватися для аналізу стійкості та синтезу нелінійних систем.

Основна ідея методу полягає в наступному. Керовані системи (об’єкти), як правило, мають властивості фільтра низьких частот: при виникненні періодичних режимів вони не пропускають або пропускають зі значним ослабленням другі та більш високі гармоніки. І суть методу гармонічної лінеаризації полягає в описі нелінійної ланки лінійним рівнянням, яке отримується при нехтуванні (відкиданні) вказаними гармоніками в розкладі нелінійної функції в ряд Фур’є.

Метод гармонічної лінеаризації є наближеним методом. Однак його перевагою є те, що його можна застосовувати до систем будь-якого порядку, на відміну від методу фазової площини.

Структурну схему замкнутої нелінійної системи, яка складається з нелінійної ланки та лінійної частини – лінійної ланки, будемо називати типовою структурною схемою нелінійної системи (рис.1.7).

Рис1.7. Типова структурна схема нелінійної САУ

Розглядати будемо лише нелінійні системи, які представлені такою структурною схемою. Або які зводяться до неї.

Приймемо, що задаючий вплив . Рівняння системи мають вигляд:

, , . (+*)

Припустимо, що в системі виникає періодичний режим. Тоді нелінійна функція буде періодичною функцією часу, і її можна буде розкласти в ряд Фур’є:

,

де - коефіцієнти Фур’є; ; - період; трьома крапками позначені вищі (другі та більш високі) гармоніки.

Припустимо, що лінійна частина має властивості фільта низьких частот, тобто виконується умова

, ,

За цієї умови вищі гармоніки не здійснюють суттєвого впливу на вихідну величину лінійної частини. Тому при визначенні вищими гармоніками можна знехтувати, і рівняння системи (+*) представити у вигляді

, , . (+*+)

Якщо в системі виникає періодичний режим і лінійна частина є фільтром низьких частот, тобто справедлива гіпотеза фільтра, то коливання на виході лінійної частини і відповідно на вході нелінійної ланки є гармонічними.

Виберемо початок відліку так, щоб на вході нелінійної ланки . Тоді маємо

, .

Підставивши ці вирази в (+*+), при отримаємо

, , , (+**+)

де

,

,

або, якщо - однозначна нечітка функція,

, .

Система (+**+) при фіксованих амплітуді та частоті є лінійною. Перехід від вихідної системи (+*) до лінеаризованої системи (+**+) називається гармонічною лінеаризацією. Коефіцієнти та називають коефіцієнтами гармонічної лінеаризації. Передаточну функцію

називають передаточною функцією нелінійної ланки і відповідно вираз

,

який отримується при підстановці в передаточну функцію нелінійної ланки , називають частотною передаточною функцією нелінійної ланки. В останньому виразі коефіцієнти та являють собою дійсну та уявну частини. Тому будемо називати дійсним, а - уявним коефіцієнтом гармонічної лінеаризації.

Розрахунок коефіцієнтів гармонічної лінеаризації базується на побудові графіка вихідного сигналу нелінійної ланки, коли на її вхід подається гармонічний сигнал .

Коефіцієнти гармонічної лінеаризації типових нелінійностей неведено в таблиці

Таблиця

№

Дата добавления: 2014-01-07