Випадкові процеси та їх основні статистичні характеристики

Функція, значення якої при кожному значенні незалежної змінної є випадковою величиною, називається випадковою функцією. Випадкові функції, для яких змінною є час t, називають випадковими процесами або стохастичними процесами.

Якщо, наприклад, проведено n окремих випробувань, то у результаті випадковий процес X(t) може прийняти n різних невипадкових (регулярних) функцій часу x_i(t), де і = 1, 2,..., n. Будь-яка з цих функцій x_i(t), якій, у результаті випробування, виявився рівним випадковий процес X(t) називається реалізацією випадкового процесу (або можливим значенням випадкового процесу). Сказати наперед, за якою з реалізацій піде процес, неможливо.

Розглянемо, наприклад, випадковий дрейф на виході підсилювача постійного струму при вхідній напрузі, що дорівнює нулю. Щоб вивчити характеристики дрейфу, можна узяти n однакових підсилювачів, помістити їх у однакові умови роботи, одночасно увімкнути і отримати n осцилограм дрейфу на виходах підсилювачів. Кожна з осцилограм є конкретною реалізацією x_i(t) випадкового процесу X(t). Для будь-якого фіксованого моменту часу t = t₁ реалізація випадкового процесу x_i(t₁) є конкретною величиною, а значення випадкової функції X(t₁) є випадковою величиною, що називається перерізом випадкового процесу у момент часу t₁. Тому не можна стверджувати, що випадковий процес у даний момент часу має деяке детерміноване значення, можна говорити лише про ймовірність того, що у даний момент часу значення випадкового процесу, як випадкової величини, буде знаходитись у певних границях.

Статистичні методи вивчають не кожну з реалізацій x_i(t), що утворюють множину X(t), а властивості всієї множини у цілому. Тому під час дослідження автоматичної системи управління роблять висновок про її поведінку не відносно до будь-якого певного впливу, а відносно до цілої сукупності впливів.

Статистичні властивості випадкової величини х визначають за її функцією розподілу (інтегральним законом розподілу) F(x) або за щільністю ймовірності (диференціальним законом розподілу) w(x).

Випадкові величини можуть мати різні закони розподілу: рівномірний, нормальний, експоненціальний тощо. У багатьох задачах автоматичного керування дуже часто використовують нормальний закон розподілу (закон Гауса), який має місце, якщо випадкова величина визначається сумарним ефектом від впливу великої кількості різних незалежних факторів.

З курсу теорії ймовірності відомо, що випадкова величина х при нормальному законі розподілу повністю визначається математичним сподіванням (середнім значенням) m_x і середнім квадратичним відхиленням s_х.

Аналітичний вираз функції розподілу у цьому випадку має вигляд:

(2.1)

Аналітичний вираз щільності ймовірності для нормального закону розподілу:

(2.2)

Для випадкового процесу використовують також поняття функції розподілу F(x, t) і щільності ймовірності w(x, t), що залежать від фіксованого моменту часу t і від деякого вибраного рівня х, тобто є функціями двох змінних: х і t.

Розглянемо випадкову величину X(t₁), тобто переріз випадкового процесу у момент часу t₁. Одномірною функцією розподілу (функцією розподілу першого порядку) випадкового процесу X(t) називають ймовірність того, що поточне значення випадкового процесу X(t₁) у момент часу t₁ не перевищує деякого заданого рівня (числа) х ₁, тобто:

(2.3)

Якщо функція F₁(x₁, t₁) має частинну похідну за х ₁, тобто:

(2.4)

то функцію w₁(x₁, t₁) називають одномірною щільністю ймовірності (щільністю ймовірності першого порядку) випадкового процесу.

Дата добавления: 2014-01-07