Передаточні функції імпульсної системи

Під час дослідження імпульсних систем зовнішня дія переноситься на вхід імпульсного елемента за правилами перетворення структурних схем, отже структурна схема зводиться до вигляду, зображеному на рис. 3.4, б, де W_ф(p) і W_б(p) – передаточні функції формувача імпульсів і безперервної частини системи. Тоді передаточна функція приведеної безперервної частини (ПБЧ): W_п(p) = W_ф(p)W_б(p).

Структурна схема такої розімкнутої імпульсної системи зображена на рис.3.7, де d – дискретний сигнал, який становить послідовність миттєвих імпульсів.

Щоб визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої системи, що складається з послідовно з’єднаних імпульсного елемента і безперервної частини, необхідно знайти передаточну функцію приведеної безперервної частини, а потім її z-зображення:

W(z) = Z{W_п(p)}. (3.36)

Якщо імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси, то відповідно до (3.29) передаточна функція ПБЧ визначається формулою:

Тоді, враховуючи, що q = pT₀ і e^q = z, і згідно з (3.36) і (3.24) отримуємо:

(3.37)

За умови g =1, коли імпульсний елемент є екстраполятором нульового порядку, передаточна функція має вигляд:

(3.38)

За умови g << 1 вираз (3.36) спрощується і відповідно до (3.33) набуває вигляду:

W(z) = Z{gT₀W_б(p)} = gT₀Z{W_б(p)}. (3.39)

Під час визначення дискретної передаточної функції розімкнутої системи слід мати на увазі, що для імпульсних систем з одним імпульсним елементом на вході передаточна функція послідовно з’єднаних ланок, на відміну від безперервної системи, не дорівнює добутку передаточних функцій цих ланок, тобто

Для визначення дискретної передаточної функції W(z) необхідно спочатку знайти а потім здійснити z-перетворення

(3.40)

Проте в тому разі, коли кожна з послідовно з’єднаних ланок має на вході свій імпульсний елемент, загальну передаточну функцію можна знайти як добуток дискретних передаточних функцій, визначених для кожної ланки з власним імпульсним елементом.

При паралельному з’єднанні ланок дискретна передаточна функція W(z) може бути визначена як сума дискретних передаточних функцій, що знайдені для кожної ланки окремо:

(3.41)

Приклад 3.4 Визначити дискретну передаточну функцію W(z) розімкнутої імпульсної системи, якщо передаточна функція безперервної частини має вигляд: W_б(p) = k/[p(T₁p+1)(T₂p+1)], а імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси (g << 1) з періодом слідування Т₀. При розрахунку прийняти Т₀ = 1с; Т₁ = 1с; Т₂ = 0,5с; k = 100с^-1; g = 0,01.

Згідно з формулою (3.39) запишемо

W(z) = gT₀Z{W_б(p)} = gT₀Z{ k/[p(T₁p+1)(T₂p+1)]}.

Передаточну функцію W_б(p) подамо у вигляді суми простих дробів. Рівняння s(T₁p+1)(T₂p+1) = 0 має один нульовий корінь і два дійсних: p₁ = 0; p₂ = -1/T₁; p₃ = -1/T₂, тому

де

З урахуванням числових значень маємо:

За даними таблиці 3.1 і з урахуванням властивості лінійності отримаємо:

де

Після перетворень остаточно маємо:

Передаточна функція замкнутої системи.

Розглянемо імпульсну систему (рис. 3.4, б). Вважаємо, що передаточну функцію W(z) розімкнутої системи визначено. Тоді передаточна функція замкнутої системи (для незміщених дискретних функцій) має вигляд:

W_з(z)=Y(z)/G(z) = W(z)/[1+W(z)]. (3.42)

Аналогічно до безперервних систем, передаточна функція замкнутої системи за помилкою визначається так:

W_x(z) = X(z)/G(z) = 1/[1 + W(z)]. (3.43)

Передаточні функції (3.42) і (3.43) можна використовувати для оцінювання стійкості та якості імпульсних систем.

Слід зазначити, що цими формулами можна користуватися лише у тому разі, коли вагова функція дорівнює нулю у момент t=0. Для цього у системах з нескінченно короткими імпульсами у вигляді d-функцій необхідно, щоб степінь полінома чисельника передаточної функції безперервної частини W_б(s) був меншим степеня полінома знаменника принаймні на два. Інакше у дискретних передаточних функціях замкнутих систем необхідно використовувати функцію W(z,-0) або z^-1W(z,1), що їй дорівнює.

Приклад 3.5 Визначити дискретні передаточні функції замкнутої імпульсної системи (рис. 3.4, б), якщо

Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи:

За (3.42) і (3.43) передаточні функції замкнутої системи за керуючою дією і за помилкою відповідно дорівнюють:

W_з(z)=Y(z)/G(z) = kT₀/(z + kT₀ – 1);

W_x(z) = X(z)/G(z) = (z –1)/(z + kT₀ – 1).

Дата добавления: 2014-01-07