Сверхиндетифицируемые

Для того, чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i -том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H уравнение сверхидентифицируемо;

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Поясним это на примере следующей структурной модели.

y₁= b₁₂ y₂ + b₁₃ y₃ + a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂

y₂= b₂₁ y₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ + a₂₄ x₄ (5.6)

y₃= b₃₁ y₁ + b₃₂ y₂ +a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: y₁,y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₃ и x₄ (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₃ и x₄ (см. таблицу 5.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных x₃ и x₄ взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны a₂₃ и a₂₄ соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 5.1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x₃ и x₄.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
x3	x4
	a23	a24
	0	0

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₂ (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₁ (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y₃ и x₁, которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 5.2).

Таблица 5.2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных y₃ и x₁.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
y3	x1
	b13	a11
	-1	a31

В третьем уравнении при переменной y₃ коэффициент равен –1, так как эта переменная стоит в левой части уравнения. Действительно, третье уравнение можно записать в виде 0= b₃₁ y₁ + b₃₂ y₂ -1 y₃ +a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂ и тогда равенство b₃₃ = –1 становится очевидным.

В общем случае СФМ может быть представлена в виде матрицы коэффициентов при переменных. В этом случае второе уравнение может быть задано вектором (b₃₁, b₃₂, -1, a₃₁ , a₃₂, 0, 0), а вся система одновременных уравнений (5.6) будет представлена матрицей

(5.7)

В примерах и задачах для контрольных работ мы будем представлять СФМ в виде такой матрицы коэффициентов при переменных модели.

Определитель представленной в таблице 5.2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: y₁,y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x₃ и x₄ (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х₃ и x₄, которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 5.3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 5.3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x₃ и x₄.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
x3	x4
	0	0
	a23	a24

В эконометрических моделях иногда используются балансовые тождества переменных (например, вида y₃= y₁ + y₂ + x₁). Коэффициенты при переменных при этом не требуют оценок и уравнение не надо исследовать на идентификацию, но в проверке на идентификацию всей системы эти уравнения участвуют. Присутствующие иногда в моделях свободные и остаточные члены (а₀₁, а₀₂, а₀₃,…e₁ , e₂, e₃,…) не влияют на решение вопроса об идентификации.

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. С этими методами можно ознакомиться в рекомендованной литературе [1,2]. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

y₁= b₁₂ y₂ + a₁₁ x₁ + e₁ (5.8)

y₂= b₂₁ y₁ + a₂₂ x₂ + e₂

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 5.4

Таблица 5.4.

Фактические данные для построения модели

n	у1	у2	х1	х2
	33,0	37,1
	45,9	49,3
	42,2	41,6
	51,4	45,9
	49,0	37,4
	49,3	52,3
Сумма	270,8	263,6
Средн.знач.	45,133	43,930	7,500	10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

y₁= d₁₁ x₁ + d₁₂ x₂ + u₁

y₂= d₂₁ x₁ + d₂₂ x₂ + u₂

u₁ и u₁ – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней y = y-y_cp и x = x-x_cp (y_cp и x_cp –средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 5.4 сведены в таблицу 5.5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов d_ik. Переменные, означающие отклонение от средних значений изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d_1k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y₁ x₁ = d₁₁ Σ x₁² + d₁₂ Σ x₁ x₂

Σ y₁ x₂ = d₁₁ Σ x₁ x₂ + d₁₂ Σ x₂²

Таблица 5.5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n	у1	у2	х1	х2	у1*х1	х1^2	х1*х2	у1*х2	у2*х1	у2*х2	х2^2
	-12,133	-6,784	-4,500	0,667	54,599	20,250	-3,002	-8,093	30,528	-4,525	0,445
	0,767	5,329	-0,500	5,667	-0,383	0,250	-2,834	4,347	-2,664	30,198	32,115
	-2,933	-2,308	-0,500	-1,333	1,467	0,250	0,667	3,910	1,154	3,077	1,777
	6,267	1,969	2,500	-1,333	15,668	6,250	-3,333	-8,354	4,922	-2,625	1,777
	3,867	-6,541	2,500	-9,333	9,667	6,250	-23,333	-36,091	-16,353	61,048	87,105
	4,167	8,337	0,500	5,667	2,084	0,250	2,834	23,614	4,168	47,244	32,115
Сумма	0,002	0,001	0,000	0,002	83,102	33,500	-29,001	-20,667	21,755	134,417	155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим

83,102= 33,5 d₁₁ - 29,001d₁₂

-20,667= -29,001d₁₁ + 155,334d₁₂

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ = 2,822 и d₁₂ = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

y₁ = 2,822 x₁ + 0,394 x₂ + u₁

Для нахождения коэффициентов d _2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y₂ x₁ = d₂₁ Σ x₁² + d₂₂ Σ x₁ x₂

Σ y₂ x₂ = d₂₁ Σ x₁ x₂ + d₂₂ Σ x₂²

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим

21,755 = 33,5 d₂₁ - 29,001d₂₂

134,417= -29,001d₂₁ + 155,334d₂₂

Решение этих уравнений дает значения d ₂₁ =1,668 и d₂₂ =1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

y₂ = 1,668 x₁ + 1,177 x₂ + u₂

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x₂ из второго уравнения приведенной формы модели

x₂ = (y₂ - 1,668 x₁) / 1,177

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y₁ = 2,822 x₁ + 0,394 (y₂ - 1,668 x₁) / 1,177 =

= 2,822 x₁ + 0,335 y₂ - 0,558 x₁ = 0,335 y₂ + 2,264 x₁

Таким образом, b₁₂ = 0,335; a₁₁ = 2,264.

Найдем x₁ из первого уравнения приведенной формы модели

x₁ = (y₁ - 0,394 x₂) / 2,822

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y₂ = 1,177 x₂ + 1,668 (y₁ - 0,394 x₂) / 2,822 =

= 1,177 x₂ + 0,591 y₁ - 0,233 x₂ = 0,591 y₁ + 0,944 x₂

Таким образом, b₂₁ = 0,591; a₂₂ = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

А₀₁= y_1,cp - b₁₂ y_2,cp - a₁₁ x_1,cp =

45,133 – 0,335 * 43,93 –2,264* 7,5 = 13,436

А₀₂= y_2,cp - b₂₁ y_1,cp - a₂₂ x_2,cp =

43,93 – 0,591* 45,133 - 0,944 * 10,333 = 7,502

Окончательный вид структурной модели

y₁= a₀₁+ b₁₂ y₂ + a₁₁ x₁ + e₁= 13,436 + 0,335 y₂ + 2,264 x₁ + e₁

y₂= a₀₂+ b₂₁ y₁ + a₂₂ x₂ + e₂= 7,502 + 0,591 y₁ + 0,944 x₂ + e₂

Литература по теме 5:

1. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. –

М.: Финансы и статистика, 2001.

Дата добавления: 2014-01-07