Полиномиальное восстановление непрерывных сигналов

Предельный, теоретический путь восстановления непрерывных функций по их дискретным отсчетам дает ряд Котельникова, однако, как уже отмечалось, его применение в системах реального времени невозможно. Поэтому на практике используют иные способы восстановления, например, при помощи полиномов различного порядка.

Приближение нулевого порядка (ступенчатая аппроксимация). Воспроизводящая функция для интервала определяется формулой:

.

Это означает, что восстановленный сигнал кусочно-непрерывен и равен значению исходного сигнала в момент дискретизации. Восстановленное значение не изменяется до следующего момента дискретизации (рисунок 7).

Рисунок 7 – Дискретизация по времени и ступенчатая аппроксимация

Подобный способ восстановления широко используется в цифро-аналоговых преобразователях (ЦАП) и может быть применен и при неравномерной дискретизации.

Максимальная ошибка при восстановлении нулевого порядка для функций, имеющих гладкую производную, определяется соотношением:

.

Приближения старших порядков. Очевидно, что ступенчатая аппроксимация представляет собой полином нулевого порядка и обладает невысокой точностью. В некоторых случаях точность восстановления можно повысить, увеличивая степень воспроизводящего полинома. Например, приближение первого порядка для интервала принимает вид

(рисунок 8):

.

Рисунок 8 – Линейная аппроксимация

Максимальная ошибка восстановления при линейной аппроксимации равна:

.

В качестве примера рассмотрим задачу определения количества опросов за период при дискретизации функции . Максимальная ошибка восстановления при этом не должна превышать 0,6 %, то есть .

При восстановлении нулевого порядка получим:

,

откуда .

При восстановлении первого порядка получим:

,

откуда .

Дата добавления: 2014-01-07