Формулы теории очередей с одним прибором обслуживания

Назначение излагаемой теории очередей [10] состоит в приближенном определении среднего размера очереди, а также среднего времени, затрачиваемого сообщениями на ожидание в очередях при передаче сообщений в канал связи или их записи в накопительные устройства. Желательно также оценить, насколько часто очередь превышает определенную длину. Эти сведения позволят нам вычислить, например, необходимый объем памяти для хранения очередей сообщений, необходимое количество линий связи и т.д. Приводимые формулы служат основным инструментом для первой приблизительной оценки размеров очереди в системах, работающих в реальном масштабе времени. Рассмотрим очередь в системе передачи документальных сообщений с одним прибором обслуживания (см. рис. П.4.1).

Рис. П.4.1. Очередь с одним прибором обслуживания

Этим прибором может быть телеграфный аппарат, персональный компьютер, факсимильный аппарат и т.п. При построении систем документальной электросвязи большинство очередей подобного типа рассчитывается по приводимым формулам.

Пусть t_s – время обслуживания сообщения, а - стандартное отклонение времени обслуживания.

Пусть w- число сообщений, ожидающих обслуживания в данный момент времени, т.е. длина очереди, а q - число сообщений в системе, ожидающих обслуживания и обслуживаемых в данный момент времени.

Пусть далее t_w- время ожидания сообщением обслуживания, т.е. время пребывания сообщения в очереди, а t_q- время пребывания сообщения в системе, т.е. время, затрачиваемое им и на ожидание, и на обслуживание.

Средние значения величин w, q, t_w и t_q обозначим соответственно через Е(w), Е (q), Е(t_w) и Е(t_q).

Всегда справедливо равенство

t_{q =} t_{w +} t_s.

Следовательно,

Е(t_q) = Е(t_w) + Е(t_s).

Длины ожидающих сообщений не зависят от длин обслуживаемых сообщений, поэтому

дисперсия t_q равна

D(t_q) = D(t_w) + D(t_s).

В устойчивом состоянии среднее число обслуживаемых сообщений Е(n) должно удовлетворять соотношению

Е(n) ≤ 1/ Е(t_s),

откуда Е(n) Е(t_s) ≤ 1.

Выражение Е(n) Е(t_s) = ρ

называют коэффициентом использования оборудования. В устойчивом состоянии справедливы формулы Литтла:

Е(w) = Е(n) Е(t_w)

и

Е (q) = Е(n) Е(t_q).

Подставив в последнее выражение ранее полученное значение Е(t_q), получаем

Е (q) = Е(n) Е(t_q) = Е(n) Е(t_w) + Е(n) Е(t_s).

Используя значение Е(w) из формул Литтла и выражение для ρ имеем

Е (q) = Е(w) + ρ.

Основная формула теории очередей с одним прибором обслуживания была получена Хинчиным и Поллачеком для значения Е(w). При экспоненциальном распределении времени обслуживания эта формула имеет вид

Е(w) = .

Напомним, что случайная величина τ распределена по экспоненциальному закону, если справедливо Р(τ ≤ Т) = 1 - ℮. Все формулы в этом разделе относятся к случаю экспоненциального распределения времени обслуживания Е(t_s).

Из формулы Литтла для Е(w) находим выражение для Е(t_w):

Е(t_w) = = = .

При экспоненциальном распределении времени обслуживания

= Е(t_s).

Этот случай иногда считают наихудшим. Расчеты по формулам, относящимся к экспоненциальному распределению времени обслуживания, могут дать несколько завышенные размеры очередей и времен ожидания в них, но такая ошибка не опасна. При этом формулы достаточно просты для запоминания:

Е(q) =

и

Е(t_q) = .

Экспоненциальное распределение времени обслуживания, конечно, не наихудший случай, с которым приходится иметь дело на практике. Если стандартное отклонение больше среднего значения, то необходима коррекция расчетов. В таком случае при проектировании целесообразно уменьшение длины очереди, что может быть достигнуто разделением длинных сообщений на части.

Представляет интерес определить время пребывания в очереди тех сообщений, которые действительно попали в очередь. При оговоренных условиях коэффициент использования оборудования представляет собою вероятность того, что в момент поступления сообщения в систему обслуживания прибор обслуживания занят. Поэтому справедливо следующее равенство:

Е(t_w) = ρ Е(t_d) + (1- ρ) 0,

где Е(t_d) – среднее время нахождения в очереди тех сообщений, которые действительно попали в очередь в силу занятости прибора обслуживания в момент их поступления. Второе слагаемое в представленном равенстве отражает факт немедленного обслуживания сообщений, если прибор обслуживания свободен. Из представленного равенства находим

Е(t_d) = Е(t_w)/ ρ = .

Полезно уметь оценивать вероятность того, что число сообщений в системе обслуживания или время пребывания сообщений в системе обслуживания как следствие наличия очереди превысит определенную величину.

Можно показать, что вероятность того, что q = N равна

Р (q = N) = (1- ρ) ρ^N.

Следовательно, вероятность того, что q больше или равно N, выражается следующей формулой

Р (q ≥ N) = (1- ρ) ρ^q.

Вероятность того, что время t_q пребывания сообщения в системе обслуживания больше Т имеет вид

Р (t_q ˃ Т) = ℮^{- (1- ρ)Т/ Е(ts)}.

Полезны выражения для стандартных отклонений

= ,

= ,

= .

Определенная выше величина Е(t_q) = дает возможность охарактеризовать интенсивность потока сообщений через систему обслуживания как 1/ Е(t_q). Доля обслуженных сообщений в этом потоке определяется величиной коэффициента использования оборудования ρ, а интенсивность потока обслуженных сообщений или, что то же самое, скорость передачи сообщений в системе равна

R = ρ/ Е(t_q) = .

Можно определить максимальное значение R, т.е. пропускную способность системы обслуживания. Для этого найдем частную производную и приравняем ее нулю. Это позволит найти оптимальное значение ρ_опт = 0,5. Подставим это значение в выражение для R и получим:

R_макс = С = .

Представленные формулы могут использоваться для оценки эффективности систем с одним прибором обслуживания, работающих в реальном масштабе времени.

Ниже приводится таблица, содержащая характеристики телеуслуг, поставляемых цифровыми сетями интегрального обслуживания и источник, из которого она заимствована.

Данные таблицы могут быть использованы для расчетов по приведенным формулам.

Характеристики телеуслуг

Таблица П.4.1

Класс пользователей	Приложение	Rmax	γ	Tmax,c	Tср,c	ρ	n, вызовов/ч
Аналоговая информация	Телефония	64К		-		0.08	3.0
Узкополосная учрежденческая сеть	Телефония Поиск документов	64К 64К		- 0.25		0.1 0.03	3.6 0.36
Узкополосная сеть для деловых связей	Телефония Поиск документов Текст Факс Запрос данных Передача файлов	64К 64К 64К 64К 64К 64К		0.25 - - 0.04 -		0.19 0.048 0.0013 0.0035 0.058 0.0001	6.8 0.57 0.60 0.63 3.5 0.2
Узкополосная сеть для закрытого автоматизированного обмена данными	Телефония Поиск документов Текст Факс Передача файлов Запрос данных	64К 64К 64К 64К 64К 64К		- 0.25 - - - 0.04		2.18 0.73 0.036 0.051 0.0015 0.80	78.5 8.7 16.2 9.18 2.7 48.0
Широкополосная учрежденческая сеть	Телефония Видеофония Поиск документов Видеоинформация	64К 10М 64К 10М		- 0.25		0.1 0.02 0.05 0.3	3.6 0.72 0.6 0.2
Широкополосная сеть для деловых связей	Телефония Видеофония Поиск документов Видеоинформация Цветной факс Запрос данных Передача файлов	64К 10М 64К 10М 2М 64К 2М		- 0.25 - 0.04 -		0.4 0.02 0.25 0.1 0.01 0.2 0.003	14.4 0.72 3.0 2.0 12.0 24.0 10.8
Широкополосная сеть для закрытого автоматизированного обмена данными	Телефония Видеофония Поиск документов Видеоинформация Цветной факс Запрос данных Передача файлов	64К 10М 64К 10М 2М 64К 2М		- 0.25 - 0.04 -		4.5 0.1 0.5 0.4 0.01 0.6 0.003	162.0 3.6 6.0 8.0 12.0 72.0 10.8
Широкополосный центр служб	Широкополосный поиск документов Узкополосный поиск документов Широкополосный поиск видеоинформации	10М   64М   10М		0.25   0.25		67.4   3.3   2.33	39.6   46.2

Характеристики быстрого и медленного диалога

Таблица П.4.2

Группа пользователей	Величина потерь	Среднее время задержки, с
Быстрого диалога	10^-4	0.04-0.25
Медленного диалога	10^-1	100-180

Литература:

В.В. Геков, Ю.Г.Данилевский, Г.П. Захаров, В.С. Шибанов – Перспективы развития Ш-ЦСИО в России, Техника средств связи №1, 1992 г.

Приложение 5.

Дата добавления: 2014-01-07