Теплоемкость кристаллических тел

Теория теплоемкости кристаллических тел была разработана А. Эйнштейном в 1907г. Согласно этой модели атомы совершают гармонические колебания независимо друг от друга. Колебания атомов не связаны между собой.

Колебания атомов описывают уравнения Шредингера.

- уравнение Шредингера.

- потенциальная энергия, - постоянная Планка.

, .

Частота колебаний , .

.

В разделе квантовая механика рассматривается решение такого уравнения. Одним из выводов является выражение для энергии .

, - это величина, принимающая набор целых значений.

Запишем выражение для статистической суммы :

.

(из формулы Гиббса – Геймгольца)

.

с учетом колебания вдоль только оси для одного атома.

Если учесть, что всего атомов , а число степеней свободы равно трем, то внутреннюю энергию кристалла запишем в виде:

.

Выражение для позволяет найти выражение для .

, .

Выделим два случая:

1)

Рассмотрим случай, когда температуры низкие. Если , то величина экспоненты значительно больше.

2) .

, при температурах, близких к 0.

Но значительно быстрее изменяется функция экспоненты. Следовательно, экспонента задает характер изменения температуры, что противоречит экспоненте.

В 1912г Дебай усовершенствовал модель Эйнштейна. Суть поправки Дебая: атомы кристаллической решетки совершают не независимые, а зависимые колебания. Тогда энергия кристалла можно рассматривать как сумму.

.

Анализ этой формулы позволяет провести аналогию с формулой Планка для излучения абсолютно черного тела. И в формуле Планка и в формуле Дебая сумма порций энергии .

В случае твердых тел порции энергии называются фонон.

Принципиальная разни ца между фотонами и фононами: для распространения фотонов среда не нужна, а для распространения фононов наличие среды обязательно.

Дебай представляет следующую формулу для внутренней энергии:

, - это максимальная частота колебаний, при которой тело еще сохраняет твердую форму.

,

.

а)

б)

этот результат дает экспериме

Дата добавления: 2014-01-07