Алгебраические методы решения матричных игр иногда производить проще, если использовать также следующие свойства матричных игр

Свойство 1. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить (вычесть) одно и тоже число С, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а только цена игры увеличится (уменьшится) на это число С.

Свойство 2. Если каждый элемент платежной матрицы умножить на положительное число k, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а цена игры умножится на k.

Отметим, что эти свойства верны и для игр, имеющих седловую точку. Эти два свойства матричных игр применяются в следующих случаях:

1) если матрица игры наряду с положительными имеет и отрицательные элементы, то ко всем ее элементам прибавляют такое число, чтобы исключить отрицательные числа в матрице;

2) если матрица игры имеет дробные числа, то для удобства вычислений элементы этой матрицы следует умножить на такое число, чтобы все выигрыши были целыми числами.

Пример. Решить матричную игру 2х2 с платежной матрицей вида:

Bj   Ai	B1	B2
A1	0.5	-0.2
A2	0.1	0.3

Умножая все элементы платежной матрицы на 10, а затем прибавляя к ним число 2, получаем игру с платежной матрицей

Bj   Ai	B1	B2
A1
A2

Решая эту игру алгебраическим методом, получаем

; ;

; ;

.

В соответствии со свойствами 1 и 2, исходная матричная игра имеет те же оптимальные смешанные стратегии: и . А для получения исходной цены игры необходимо из полученной цены игры вычесть 2, а затем разделить на 10. Таким образом, получаем цену исходной игры: .

Дата добавления: 2014-01-07