Однако этих уравнений недостаточно для решения электромагнитной задачи, необходимы материальные уравнения, устанавливающие дополнительные связи между указанными векторами

(1.2)

Уравнения (2) устанавливают связь между вектором макроскопической поляризации среды P', вектором макроскопической намагниченности среды M' и векторами D и B, а также между плотностью тока j и напряженностью электрического поля E. Далее не будем учитывать магнитные свойства среды.

В изотропном случае макроскопическая поляризация среды зависит от напряженности электрического поля E. Коэффициентом пропорциональности в такой зависимости является диэлектрическая восприимчивость среды c(E), которая в общем случае тоже зависит от E. Если учесть эту зависимость, то для уравнения (2) получим:

(1.3)

Величина e(E)=1+c(E) называется диэлектрической проницаемостью.

В слабых полях восприимчивость среды (и диэл. проницаемость) - константа, не зависящая от напряженности электрического поля. Следовательно, реакция среды на внешнее поле - линейная:

(1.3a)

Нелинейные эффекты проявляются лишь тогда, когда поля достаточно сильны и величины c и e уже нельзя считать не зависимыми от напряженности поля. Чтобы проиллюстрировать появление нелинейной зависимости величин c и e, вычислим их в рамках простой классической задачи. Рассмотрим газ, состоящий из атомов (два точечных заряда: ядро и электрон) без постоянного электрического дипольного момента. В отсутствие внешнего поля положение точечных зарядов совпадает. Поместим его в постоянное электрическое поле. Заряды в каждом атоме сместятся на некоторое расстояние. Для простоты будем считать, что смещение электрона совпадает с направлением внешнего электрического поля. Тогда можно не учитывать векторного характера величин, входящих в задачу, и оперировать скалярами. Таким образом, атомы приобретут дипольный момент d = e r.

Если было N атомов, то макроскопическая поляризация

P=N · d=N · er (1.4)

На электрон действуют две силы: одна - действие электрического поля - F_E=eE, а вторая - упругая - возвращает электрон в прежнее положение F_У=-kr-qr³ (эта сила в общем случае нелинейно зависит от смещения электрона). Приравняем их и получим уравнение для определения смещения электрона во внешнем поле.

eE=kr+qr³ (1.5)

Из (4) выражаем r и подставляем в (5) и получаем нелинейное уравнение для поляризации:

(1.6)

Решим его относительно P', считая член с P' ³ малым. Пусть P' = P'₀ + P'₁ (два порядка малости), тогда, подставив их в (6), получим два уравнения (одно для членов нулевого порядка малости, другое - для членов первого порядка малости) и решим их.

(1.7)

Сравнив полученное решение с (3), получаем

(1.7a)

Т.е. восприимчивость является нелинейной функцией напряженности поля. Если же поле достаточно слабое (значительно меньше внутриатомного), то вторым членом можно пренебречь (это означает, что смещение r мало и в выражении для F_У мы пренебрегаем членом qr³) и восприимчивость становится постоянной величиной.

До этого мы рассматривали случай изотропной среды. Когда среда анизотропна, восприимчивость и проницаемость вместо скаляров становятся тензорами второго ранга, а связь между векторами P', D, E имеет вид

, (1.8)

d_ij - единичный тензор.

Для декартовой системы координат:

(1.8a)

Зная параметры внешнего электрического поля и тензор восприимчивости для данного кристалла, обычно определяемый экспериментальными методами, можно всегда рассчитать его поляризацию.

Поляризация диэлектрика в световом поле

Рассмотрим поляризацию диэлектрика в высокочастотном поле на той же простейшей модели газа. Поскольку напряженность электрического поля теперь зависит от времени, необходимо решать динамическую, а не статическую задачу для движения электрона. Уравнение движения электрона запишется в виде

, (1.9)

где F_T - сила трения пропорциональна скорости движения электрона (так мы учитываем возможные потери энергии электроном); F_E - сила, действующая со стороны внешнего электрического поля; F_У - упругая сила. Упругую силу возьмем в линейном приближении (для случая слабого поля): F_У = - k r. Подставив в (9), получим:

(1.10)

Последнее уравнение получено заменой r на выражение через поляризацию из (4), за w₀² принято k/m.

Пусть поле меняется по гармоническому закону E(t) = E₀ cos wt, тогда решение для поляризации будем искать в виде P' = P'₀ cos(wt+j). Дифференцируя это выражение нужное число раз, подставим его в (10):

(1.10a)

Приравняем по отдельности члены при cos wt и sin wt нулю:

(1.11)

Из первого равенства определяем фазу поляризации

(1.12)

и подставив во второе, получим

(1.11a)

Очевидно, решение для поляризации имеет вид

Выводы:

1) Поляризация меняется с той же частотой w, что и внешнее поле.

2) Амплитуда поляризации существенно зависит от соотношения частот w и w₀.

a) Если w = w₀ (резонанс), амплитуда максимальна;

b) Вдали от резонанса |w-w₀| >> g_з

В этом случае фаза поляризации близка к нулю (см. (12)). Тогда поляризация

(1.13a)

т.е. восприимчивость зависит от частоты.

c) В предельном случае постоянного поля для восприимчивости получаем вновь формулу аналогичную (7а) (w=0 ® (13a)):

До сих пор предполагалось, что на электрон действует поле малой напряженности. Мы брали F_У = - k r (линейное приближение, пригодное для случая малого смещения электрона). Теперь будем считать, что напряженность светового поля и смещение электрона могут быть достаточно большими, и для упругой силы возьмем F_У = - k r - q r³:

(1.14)

(1.15)

Будем, как и раньше считать, что поле E(t) меняется по гармоническому закону, рассматривая нерезонансный случай (|w - w₀| >> g_з). Членами при g_з и P' ³ пренебрегаем. Решение опять ищем в виде P'=P'₀+P'₁ (два порядка малости), подставляем его в (15) и собирая отдельно члены нулевого и первого порядков малости, получаем:

(1.16)

(1.17)

Первое уравнение мы уже решали, это решение вдали от резонанса - (13a). Подставляем его в (17):

(1.18)

Т.к. напряженность поля меняется по гармоническому закону, то

(1.19)

Уравнение (18) - это уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила (правая часть уравнения), состоящая из двух компонент, одна из которых меняется с частотой w, а другая - с частотой 3w. Поэтому решение будем искать в виде P'₁=P'_1,w cos wt + P'_1,3w cos 3wt. Подставляя его в (18) и получаем:

(1.20)

(1.21)

Объединяем (20-21) и получаем общее решение:

P' = P₀'+P₁' = c(w,E₀) E₀ cos wt + c(3w,E₀) E₀ cos 3wt, (1.22)

где

(1.23)

Выводы:

Поляризация в сильном световом поле является функцией не только частоты падающего излучения, но и его третьей гармоники. Известно, что заряд, совершающий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой w, другая - с частотой 3w.

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие гармоники.

Л2. Источники излучения

Источник оптического излучения преобразует электрическую энергию возбуждения в энергию оптического излучения заданного спектрального состава и пространственного распределения.

Требования к источникам излучения:

1. Совместимость с оптической средой передачи, т. е. длина волны излучения должна соответствовать окнам прозрачности ОВ.

2. Высокая мощность излучения и эффективный ввод излучения в волокно.

3. Узкая спектральная полоса излучения и высокое быстродействие при модуляции.

4. Длительный срок службы (не менее 10⁵ часов).

5. Устойчивость источника к перегрузкам и изменению параметров окружающей среды.

6. Высокая технологичность производства и миниатюрность исполнения.

Лазеры:

Дата добавления: 2014-01-07